# 치역

## 개요

**치역**(range)은 함수 출력값, 즉에 의해 정의역의 원소들이 대응되는 값들의 집합을 의미한다. 수학, 특히 미적분학에서 치은 함수의 행동과 성질을 분석하는 데 핵심적인 개념 중 하나이다. 함수 $ f: A \to B $가 주어졌을 때, 정의역 $ A $의 각 원소 $ x $에 대해 $ f(x) $의 값이 존재하며, 이러한 모든 $ f(x) $의 집합을 **치역**이라고 한다. 치역은 종종 **함수의 출력 집합** 또는 **함수값의 집합**으로도 불린다.

치역은 공역(codomain)과 혼동되기 쉬우나, 두 개념은 다르다. 공역은 함수가 값을 가질 수 있다고 정의된 전체 집합이지만, 치역은 실제로 함수에 의해 생성되는 값들만의 집합이다. 따라서 치역은 공역의 **부분집합**이다.

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## 치역의 정의

함수 $ f: X \to Y $에 대해, 정의역 $ X $의 모든 원소 $ x $에 대해 $ f(x) $를 계산할 수 있다. 이때, 모든 $ f(x) $의 집합을 함수 $ f $의 **치역**(range)이라고 정의하며, 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있다:

$$
\text{range}(f) = \{ y \in Y \mid \exists x \in X \text{ such that } f(x) = y \}
$$

즉, 치역은 공역 $ Y $ 중에서 **적어도 하나의 정의역 원소** $ x $에 의해 도달 가능한 모든 값들이다.

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## 치역의 예시

### 예시 1: 선형 함수

함수 $ f(x) = 2x + 1 $, 정의역이 실수 전체 $ \mathbb{R} $일 때, 이 함수는 모든 실수에 대해 정의되며, 출력값도 모든 실수가 될 수 있다. 따라서 치역은 $ \mathbb{R} $이다.

- 정의역: $ \mathbb{R} $
- 공역: $ \mathbb{R} $
- 치역: $ \mathbb{R} $

이 경우 치역과 공역이 일치한다.

### 예시 2: 제곱 함수

함수 $ f(x) = x^2 $, 정의역이 실수 전체 $ \mathbb{R} $일 때, $ x^2 $는 항상 0 이상의 값을 가진다. 따라서 이 함수의 치역은 음수가 아닌 실수, 즉 $ [0, \infty) $이다.

- 정의역: $ \mathbb{R} $
- 공역: $ \mathbb{R} $
- 치역: $ [0, \infty) $

여기서 치역은 공역의 진부분집합이다.

### 예시 3: 삼각함수

함수 $ f(x) = \sin(x) $의 정의역이 실수 전체일 때, 사인 함수는 주기적이고, 그 값은 항상 $ -1 $과 $ 1 $ 사이에 존재한다. 따라서 치역은 닫힌 구간 $ [-1, 1] $이다.

- 치역: $ [-1, 1] $

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## 치역의 특성

### 1. 치역과 일대일성, 전사성

함수의 치역은 함수의 **전사성**(surjectivity)과 밀접한 관련이 있다.

- 함수 $ f: X \to Y $가 **전사함수**(surjective function)라는 것은, 공역 $ Y $의 모든 원소가 치역에 포함됨을 의미한다. 즉, $ \text{range}(f) = Y $.
- 반대로, 치역이 공역보다 작으면 함수는 전사가 아니다.

### 2. 치역의 연속성과 미분 가능성

미적분학에서 연속함수나 미분가능한 함수의 치역은 일반적으로 구간(interval) 형태를 가진다. 특히, **중간값 정리**(Intermediate Value Theorem)에 따르면, 닫힌 구간에서 연속인 함수는 그 구간의 양 끝점 사이의 모든 값을 치역에 포함한다.

예를 들어, $ f(x) = x^3 $는 $ [-2, 2] $에서 연속이며, $ f(-2) = -8 $, $ f(2) = 8 $이므로, 치역은 $ [-8, 8] $이다.

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## 치역의 계산 방법

치역을 구하는 일반적인 방법은 다음과 같다:

1. **함수의 그래프를 분석한다.**
   - 그래프 상에서 y축 방향의 최소값과 최대값을 확인한다.
   - 점근선, 정점, 연속성 등을 고려한다.

2. **함수의 극값을 미분을 통해 구한다.**
   - 도함수 $ f'(x) $를 구하고, 임계점(critical points)을 찾는다.
   - 극대, 극소 값을 계산하여 치역의 범위를 결정한다.

3. **정의역의 제약 조건을 고려한다.**
   - 정의역이 제한된 경우, 그 범위 내에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구해야 한다.

### 예: 치역 계산 과정

함수 $ f(x) = -x^2 + 4x $의 치역을 구해보자.

1. 이차함수이므로 정의역은 $ \mathbb{R} $.
2. 꼭짓점의 x좌표: $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 $
3. $ f(2) = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4 $
4. 이차항 계수가 음수이므로, 최댓값은 4, 최솟값은 없음 (무한히 감소)
5. 따라서 치역은 $ (-\infty, 4] $

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## 치역의 중요성

치역은 다음과 같은 수학적 분석에 핵심적이다:

- **방정식의 해 존재성**: $ f(x) = c $가 해를 가지려면 $ c $가 치역에 포함되어야 한다.
- **역함수의 존재성**: 함수가 일대일이고 치역이 공역과 일치할 때, 역함수의 정의가 가능하다.
- **모델링 및 응용**: 물리, 경제, 공학 등에서 함수의 출력값 범위를 예측하는 데 치역이 활용된다.

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## 관련 개념

| 개념 | 설명 |
|------|------|
| **정의역**(Domain) | 함수에 입력될 수 있는 값들의 집합 |
| **공역**(Codomain) | 함수가 값을 가질 수 있다고 정의된 집합 |
| **일대일함수**(Injective) | 서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 가짐 |
| **전사함수**(Surjective) | 치역과 공역이 일치하는 함수 |
| **전단사함수**(Bijective) | 일대일이면서 전사인 함수 |

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## 참고 자료

- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Thomas, G. B. (2014). *Thomas' Calculus*. Pearson Education.
- Khan Academy. "Functions: Domain and Range". [https://www.khanacademy.org](https://www.khanacademy.org)

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이 문서는 함수의 핵심 개념인 치역에 대한 기초적이고도 심화적인 이해를 돕기 위해 작성되었습니다. 미적분학을 학습하는 학생이나 관련 분야 연구자에게 유용한 참고 자료가 될 수 있습니다.