임계점

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qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.09.16
조회수
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v1
수학 → 미적분학 → 미분학
임계점 미분학 도함수 극값 최적화 문제

임계점

개요

임계점(臨界, 영어: critical point) 미분학에서 함수의 국소적 성질을 분석하는 데 핵심적인 개념이다. 함수의 그래프에서 극값(극대 또는 극소)이 존재할 수 있는 후보 지점으로, 함수의 변화율이 0이 되거나 미분이 존재하지 않는 점을 의미한다. 임계점은 함수의 증가와 감소가 전환되는 지점, 즉 극값을 찾는 데 매우 중요한 역할을 하며, 최적화 문제, 곡선의 개형 분석, 물리학 및 공학의 다양한 응용 분야에서 널리 사용된다.

수학적으로, 함수 $ f(x) $가 정의역 내의 한 점 $ c $에서 연속이거나 미분 가능할 때, 다음 두 조건 중 하나를 만족하면 $ c $를 임계점이라 한다:

  1. $ f'(c) = 0 $ (도함수가 0인 점)
  2. $ f'(c) $가 존재하지 않는 점 (도함수가 정의되지 않음)

이 문서에서는 임계점의 정의, 종류, 판별 방법, 그리고 실제 예시를 통해 그 중요성과 활용을 깊이 있게 다룬다.

정의

함수 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $가 구간 $ I $에서 정의되어 있고, $ c \in I $일 때, 점 $ c $가 임계점이 되기 위한 조건은 다음과 같다:

$ f'(c) = 0 $ 또는 $ f'(c) $가 존재하지 않으면, $ c $는 $ f $의 임계점이다.

이때 $ f'(c $는 함수 $ f $의 $ x = c $에서의 도함수를 의미한다.

주의사항

  • 임계점은 반드시 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, $ f(x) = x^3 $은 $ x = 0 $에서 도함수가 0이지만 극값은 존재하지 않는다.
  • 임계점은 정의역 내부의 점이어야 하며, 구간의 끝점은 일반적으로 임계점으로 간주하지 않는다 (단, 닫힌 구간에서의 절대 극값을 찾을 때는 별도 고려).

임계점의 종류

임계점은 그 성질에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

1. 정지점(Stationary Point)

  • 도함수가 존재하고 $ f'(c) = 0 $인 점.
  • 그래프 상에서 접선이 수평인 지점.
  • 예: $ f(x) = x^2 $에서 $ x = 0 $.

2. 특이점(Singular Point)

  • 도함수가 존재하지 않는 점.
  • 함수가 연속이지만 미분 불가능한 경우.
  • 예: $ f(x) = |x| $에서 $ x = 0 $ (좌우 미분계수가 다름).

임계점의 판별 방법

임계점을 찾은 후, 그 점이 극대, 극소, 또는 변곡점인지 판별하기 위해 다음과 같은 방법을 사용한다.

1. 제1도함수 판별법 (First Derivative Test)

  • $ f'(x) $의 부호 변화를 관찰한다.
  • $ f'(x) $가 $ c $를 기준으로 양에서 음으로 변하면 → $ f(c) $는 극대값.
  • $ f'(x) $가 음에서 양으로 변하면 → $ f(c) $는 극소값.
  • 부호가 변하지 않으면 → 극값 아님 (예: 변곡점).

2. 제2도함수 판별법 (Second Derivative Test)

  • $ f'(c) = 0 $이고 $ f''(c) $가 존재할 때:
  • $ f''(c) > 0 $ → $ f(c) $는 극소값 (함수가 아래로 볼록).
  • $ f''(c) < 0 $ → $ f(c) $는 극대값 (함수가 위로 볼록).
  • $ f''(c) = 0 $ → 판별 불가 (추가 분석 필요).

이 방법은 정지점에만 적용 가능하며, 특이점에는 사용할 수 없다.

예시

예시 1: 다항함수

함수 $ f(x) = x^3 - 3x^2 $의 임계점을 구해보자.

  1. 도함수 계산:
    $ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) $

  2. $ f'(x) = 0 $을 만족하는 점:
    $ x = 0 $, $ x = 2 $

  3. 제2도함수 판별:
    $ f''(x) = 6x - 6 $

  4. $ f''(0) = -6 < 0 $ → $ x = 0 $에서 극대값
  5. $ f''(2) = 6 > 0 $ → $ x = 2 $에서 극소값

따라서, 두 점 모두 임계점이며 각각 극대와 극소를 가진다.

예시 2: 절댓값 함수

함수 $ f(x) = |x| $의 경우:

  • $ x > 0 $: $ f'(x) = 1 $
  • $ x < 0 $: $ f'(x) = -1 $
  • $ x = 0 $: 좌미분과 우미분이 다르므로 미분 불가능.

→ $ x = 0 $은 도함수가 존재하지 않으므로 임계점이며, 실제로 이 지점에서 극소값을 가진다.

다변수 함수에서의 임계점

임계점의 개념은 다변수 함수로 확장될 수 있다. 함수 $ f(x, y) $의 경우, 임계점은 편도함수가 모두 0이거나 정의되지 않는 점이다.

$ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (0, 0) $ 또는 기울기 벡터가 존재하지 않을 때.

이 경우에도 제2도함수 판별법(헤세 행렬의 판별)을 통해 극값 여부를 판단할 수 있다.

관련 개념 및 응용

  • 극값 정리(Fermat’s Theorem):
    함수 $ f $가 $ c $에서 국소 극값을 가지며, $ f'(c) $가 존재하면 $ f'(c) = 0 $이다.
    → 극값이 존재하려면 임계점이어야 한다는 의미.

  • 로피탈의 정리, 최적화 문제, 물리학에서의 평형점 분석 등에서 임계점 개념이 활용된다.

참고 자료 및 관련 문서

  • Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
  • Thomas, G. B. (2014). Thomas' Calculus. Pearson.
  • 관련 위키 문서: 극값, 도함수, 변곡점

임계점은 미분학의 핵심 개념 중 하나로, 함수의 거동을 이해하고 최적해를 찾는 데 없어서는 안 될 도구이다. 정확한 정의와 판별법을 익히는 것이 중요하다.

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