# 벡터

벡터는 선형대수학의 핵심 개념 중 하나로, 크기와 방향을 동시에 가지는 수학적 객체이다. 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용되며, 공간 내의 위치, 속도, 힘 등을 표현하는 데 필수적인 도구로 사용된다. 이 문서에서는 벡터의 정의, 성질, 연산 방법, 그리고 응용 분야에 대해 체계적으로 설명한다.

## 개요

벡터는 단순한 숫자(스칼라)와 달리 **크기**(magnitude)와 **방향**(direction)을 모두 가지며, 일반적으로 화살표로 시각적으로 표현된다. 예를 들어, 지점 A에서 지점 B로 향하는 이동은 벡터로 나타낼 수 있다. 수학적으로는 좌표계 내에서 성분으로 표현되며, 예를 들어 2차원 공간에서 벡터는 $(x, y)$와 같은 순서쌍으로 나타낸다.

벡터는 선형대수학에서 벡터 공간(vector space)의 기본 구성 요소이며, 행렬과 함께 선형 변환, 선형 방정식 시스템 등을 다루는 데 핵심적인 역할을 한다.

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## 벡터의 정의와 표현

### 수학적 정의

벡터는 다음과 같은 두 가지 방식으로 정의할 수 있다:

1. **기하학적 정의**: 크기와 방향을 가지는 유향 선분(directed line segment)으로 정의된다.
2. **대수적 정의**: $n$차원 실수 공간 $\mathbb{R}^n$의 원소로, $n$개의 실수로 구성된 순서쌍 $(v_1, v_2, \dots, v_n)$이다.

예를 들어, 3차원 공간의 벡터 $\vec{v}$는 다음과 같이 쓸 수 있다:

$$
\vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix}
$$

이 벡터는 $x$축 방향으로 2, $y$축 방향으로 -1, $z$축 방향으로 4만큼 이동함을 의미한다.

### 표기법

벡터는 다양한 방식으로 표기된다:

- 소문자 위에 화살표: $\vec{v}$
- 소문자 굵은 글자: $\mathbf{v}$
- 행렬 형식: $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$

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## 벡터의 연산

벡터는 다음과 같은 기본 연산이 가능하다.

### 벡터의 덧셈

두 벡터 $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$의 덧셈은 성분별로 수행된다:

$$
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
$$

기하학적으로는 평행사변형 법칙 또는 끝점을 연결하는 삼각형 법칙으로 표현할 수 있다.

### 스칼라 곱셈

벡터 $\vec{v}$에 실수 $c$를 곱하면, 벡터의 크기는 $|c|$배로 변화하고, $c < 0$이면 방향이 반대가 된다:

$$
c \vec{v} = (c v_1, c v_2, \dots, c v_n)
$$

### 내적 (점곱, Dot Product)

두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 내적은 다음과 같이 정의된다:

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n
$$

또한, 내적은 각도 $\theta$를 이용해 다음과 같이 표현할 수도 있다:

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos \theta
$$

내적은 두 벡터가 이루는 각도를 구하거나, 직교성(수직 여부)을 판단하는 데 유용하다.

### 외적 (벡터곱, Cross Product)

외적은 3차원 벡터에만 정의되며, 결과는 두 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터이다:

$$
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
$$

외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같으며, 방향은 오른손 법칙에 따라 결정된다.

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## 벡터의 길이와 정규화

벡터 $\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$의 **크기**(또는 길이, 노름)는 다음과 같이 계산된다:

$$
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}
$$

벡터를 그 크기로 나누면 **단위 벡터**(unit vector)가 되며, 이는 방향만을 나타내는 벡터가 된다:

$$
\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}
$$

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## 벡터의 응용

### 물리학

- 속도, 가속도, 힘, 전기장 등은 모두 벡터량이다.
- 뉴턴의 운동 법칙에서 힘의 합은 벡터 덧셈으로 표현된다.

### 컴퓨터 그래픽스

- 3D 모델링에서 정점의 위치, 법선 벡터, 카메라 방향 등에 벡터를 사용한다.
- 조명 계산에서 빛의 방향과 표면의 법선 벡터의 내적을 이용한다.

### 기계학습

- 데이터 샘플은 고차원 벡터 공간의 점으로 표현된다.
- 거리 기반 알고리즘(KNN, 클러스터링 등)에서 벡터 간 거리(예: 유클리드 거리)를 계산한다.

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## 관련 개념

- **벡터 공간**(Vector Space): 벡터의 집합으로, 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있는 공간.
- **기저**(Basis): 벡터 공간을 생성할 수 있는 선형 독립 벡터들의 집합.
- **선형 결합**(Linear Combination): 벡터들을 스칼라 곱 후 더한 형태.

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## 참고 자료

- Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra*, Wellesley-Cambridge Press
- Howard Anton, *Elementary Linear Algebra*, Wiley
- MIT OpenCourseWare: Linear Algebra 강의 (Gilbert Strang)

벡터는 수학적 사고와 현실 세계를 연결하는 다리 역할을 하며, 현대 과학기술의 기초를 형성하는 핵심 개념이다.