# 벡터

## 개요

벡터(vector)는 수학, 특히 **선형대수**(linear algebra)에서 핵심적인 개념 중 하나로, 크기(magnitude)와 방향(direction)을 동시에 가지는 수학적 객체이다. 물리학, 공학, 컴퓨터 과학, 데이터 과학 등 다양한 분야에서 벡터는 위치, 속도, 힘, 이미지 데이터, 단어 임베딩 등 현실 세계의 현상을 모델링하는 데 널리 사용된다.

선형대수의 맥락에서 벡터는 단순히 화살표로 시각화되는 기하학적 객체일 뿐만 아니라, 더 일반적으로는 **벡터 공간**(vector space) 내의 원소로 정의되며, 덧셈과 스칼라 곱셈이라는 두 가지 연산이 정의된 대수적 구조를 갖는다.

이 문서에서는 벡터의 정의, 표현 방식, 연산, 응용 사례 및 관련 개념을 체계적으로 설명한다.

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## 벡터의 정의와 표현

### 기하학적 정의

2차원 또는 3차원 공간에서 벡터는 **시작점**(initial point)과 **끝점**(terminal point)을 연결하는 방향성 있는 선분으로 표현된다. 예를 들어, 점 $ A $에서 점 $ B $로 향하는 벡터는 $ \vec{AB} $로 표기하며, 이 벡터는 크기(길이)와 방향을 가진다.

### 대수적 정의

수학적으로, $ n $차원 벡터는 $ n $개의 실수(또는 복소수)로 구성된 **순서쌍**(ordered tuple)으로 표현된다. 예를 들어, 3차원 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}
$$

이를 **열 벡터**(column vector)라고 하며, 반대로 행 형태로 나타낸 것을 **행 벡터**(row vector)라 한다:

$$
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}
$$

벡터는 일반적으로 소문자 굵은 글씨($ \mathbf{v}, \mathbf{u} $) 또는 위에 화살표를 붙인 기호($ \vec{v} $)로 표기한다.

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## 벡터 연산

벡터는 다음과 같은 기본 연산이 가능하다.

### 1. 벡터 덧셈

두 벡터 $ \mathbf{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n] $, $ \mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n] $의 덧셈은 각 성분을 더하여 정의된다:

$$
\mathbf{u} + \mathbf{v} = [u_1 + v_1, u_2 + v_2, \dots, u_n + v_n]
$$

기하학적으로는 **평행사변형 법칙** 또는 **꼬리-끝 법칙**(tip-to-tail method)으로 시각화할 수 있다.

### 2. 스칼라 곱셈

스칼라 $ c \in \mathbb{R} $와 벡터 $ \mathbf{v} $의 곱은 벡터의 각 성분에 $ c $를 곱한 결과이다:

$$
c\mathbf{v} = [c v_1, c v_2, \dots, c v_n]
$$

이 연산은 벡터의 길이를 $ |c| $배로 조정하며, $ c < 0 $이면 방향이 반전된다.

### 3. 내적 (점곱, dot product)

두 벡터 $ \mathbf{u} $와 $ \mathbf{v} $의 내적은 다음과 같이 정의된다:

$$
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n
$$

내적의 결과는 **스칼라**이며, 두 벡터 사이의 각도 $ \theta $와 다음과 같은 관계를 가진다:

$$
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta
$$

내적은 벡터 간 유사도 측정(예: 코사인 유사도), 직교성 판별 등에 활용된다.

### 4. 외적 (벡터곱, cross product)

외적은 **3차원 벡터**에 한해 정의되며, 두 벡터의 외적 결과는 두 벡터에 모두 수직인 새로운 벡터이다:

$$
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
\end{vmatrix}
$$

외적은 물리학에서 토크, 각운동량 등을 계산하는 데 사용된다.

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## 벡터의 크기와 정규화

벡터 $ \mathbf{v} $의 크기(또는 노름, norm)는 다음과 같이 유클리드 거리로 정의된다:

$$
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}
$$

크기가 1인 벡터를 **단위 벡터**(unit vector)라고 하며, 임의의 비영 벡터 $ \mathbf{v} $를 단위 벡터로 변환하는 과정을 **정규화**(normalization)라고 한다:

$$
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
$$

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## 벡터의 응용 분야

### 1. 물리학

힘, 속도, 가속도, 전기장 등은 모두 벡터량이며, 벡터 연산을 통해 운동 방정식을 기술한다.

### 2. 컴퓨터 그래픽스

3D 모델링과 애니메이션에서 위치, 카메라 방향, 조명 벡터 등을 벡터로 표현하고 변환한다.

### 3. 머신러닝 및 데이터 과학

데이터 샘플은 특성 벡터(feature vector)로 표현되며, 거리 계산, 군집화, 분류 등에서 벡터 연산이 핵심이다.

### 4. 자연어 처리

단어나 문장은 고차원 공간의 벡터(임베딩)로 표현되며, Word2Vec, BERT 등의 모델에서 활용된다.

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## 관련 개념

- **벡터 공간**(Vector Space): 벡터의 집합으로, 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 닫혀 있는 공간.
- **기저**(Basis): 벡터 공간을 생성하는 선형 독립 벡터들의 집합.
- **선형 결합**(Linear Combination): 벡터에 스칼라를 곱한 후 더한 형태.
- **직교성**(Orthogonality): 내적이 0인 두 벡터는 서로 직교한다.

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## 참고 자료

- Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra*, Wellesley-Cambridge Press.
- David C. Lay, *Linear Algebra and Its Applications*, Pearson.
- Khan Academy: [Linear Algebra - Vectors](https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra)

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