# 본페로니 보정

## 개요

**본페로니 보정**(Bonferroni correction)은 다중 비교 문제(multiple comparisons problem)에서 제1종 오류(Type I error, 귀무가설이 참인데 기각하는 오류)의 발생 확률을 제어하기 위해 널리 사용되는 통계적 방법이다. 여러 통계 검정을 동시에 수행할 경우, 전체적으로 제1종 오류가 발생할 확률(총제1종오류율, Familywise Error Rate, FWER)이 증가하게 되는데, 본페로니 보정은 이 오류율을 명목상 유의수준(예: α = 0.05) 이하로 억제하는 데 목적이 있다.

이 방법은 이탈리아의 수학자 **카를로 에밀리오 본페로니**(Carlo Emilio Bonferroni)의 이름을 따 명명되었으며, 통계학, 생물의학 연구, 사회과학 등 다양한 분야에서 간단하고 직관적인 접근법으로 자주 활용된다.

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## 다중 비교 문제의 배경

### 제1종 오류의 누적

단일 가설 검정에서 유의수준 α = 0.05는 귀무가설이 참일 때 5%의 확률로 오류로 기각한다는 의미이다. 그러나 독립적인 가설 검정을 여러 번 반복할 경우, 전체적으로 **적어도 하나의 제1종 오류를 범할 확률**은 다음과 같이 증가한다:

- 검정 횟수: \( k \)
- 각 검정의 제1종 오류 확률: \( \alpha \)
- 전체 제1종 오류율(FWER): \( 1 - (1 - \alpha)^k \)

예를 들어, α = 0.05로 10개의 독립 검정을 수행할 경우:

\[
FWER = 1 - (1 - 0.05)^{10} \approx 1 - 0.5987 = 0.4013
\]

즉, 약 **40%**의 확률로 하나 이상의 오류 기각이 발생한다. 이는 통계적 추론의 신뢰성을 크게 떨어뜨린다.

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## 본페로니 보정의 원리

본페로니 보정은 FWER을 α 이하로 제어하기 위해, **각 개별 검정에 적용되는 유의수준을 조정**한다. 구체적인 방법은 다음과 같다:

- 전체 유의수준: \( \alpha \)
- 비교 횟수: \( k \)
- 각 검정의 조정 유의수준: \( \alpha_{\text{adjusted}} = \frac{\alpha}{k} \)

예를 들어, α = 0.05이고 5개의 검정을 수행한다면, 각 검정의 유의수준은 \( \frac{0.05}{5} = 0.01 \)이 되며, 이보다 작은 p-값을 가진 검정만 통계적으로 유의하다고 판단한다.

이 방법은 **보수적**(conservative)인 접근으로, FWER의 상한을 \( k \times \frac{\alpha}{k} = \alpha \)로 제한한다. 이는 수학적으로 **본페로니 부등식**(Bonferroni inequality)에 기반한다:

\[
P\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\right) \leq \sum_{i=1}^{k} P(A_i)
\]

여기서 \( A_i \)는 i번째 검정에서 제1종 오류가 발생할 사건이다.

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## 적용 예시

가령, 세 그룹(A, B, C) 간의 평균 차이를 검정하기 위해 총 3개의 t-검정을 수행한다고 가정하자:

- A vs B
- A vs C
- B vs C

본페로니 보정을 적용하면, 각 검정의 유의수준은 \( \frac{0.05}{3} \approx 0.0167 \)이 된다. 따라서 p-값이 0.0167보다 작은 경우에만 통계적으로 유의한 차이가 있다고 결론짓는다.

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## 장점과 단점

### ✅ 장점

- **간단하고 직관적**: 계산이 매우 간단하여 초보자도 쉽게 적용 가능.
- **가정이 적음**: 검정 간의 독립성이나 분포 형태에 대한 강한 가정이 필요하지 않음.
- **FWER 보장**: 수학적으로 FWER이 α 이하임이 보장됨.

### ❌ 단점

- **과도하게 보수적**: 검정 수가 많아질수록 각 검정의 유의수준이 매우 작아져, **제2종 오류**(귀무가설이 거짓인데 채택) 확률이 증가하고, **검정력**(power)이 급격히 감소한다.
- **독립성 가정 무시**: 검정들이 상관이 있을 경우, 실제 FWER는 더 낮을 수 있으므로, 본페로니는 불필요하게 엄격한 보정을 제공할 수 있다.
- **대안 방법 존재**: 본페로니보다 검정력이 높은 방법들이 존재함 (예: 홀름 보정, 호크버그 보정, FDR 조정 등).

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## 관련 및 대안 방법

| 방법 | 설명 | 특징 |
|------|------|------|
| **홀름 보정**(Holm correction) | 단계적 방법으로 본페로니보다 검정력 높음 | FWER 제어, 본페로니보다 덜 보수적 |
| **호크버그 보정**(Hochberg correction) | 순차적 방법, 독립성 가정 필요 | FWER 제어, 검정력 우수 |
| **벤담 보정**(Benjamini-Hochberg) | FDR(False Discovery Rate) 제어 | 다중 검정에서 더 높은 검정력, 제1종 오류 기준 완화 |

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## 결론

본페로니 보정은 다중 비교 문제 해결을 위한 가장 기초적이면서도 널리 알려진 방법이다. 그 간단함과 수학적 견고함 덕분에 여전히 많은 연구에서 사용되지만, 검정 수가 많거나 검정 간 상관이 클 경우 **과도한 보수성**으로 인해 유의미한 결과를 놓칠 수 있다. 따라서 연구 목적과 데이터 특성에 따라 본페로니 외의 **대안적 오류 조정 방법**을 고려하는 것이 바람직하다.

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## 참고 자료

- Bonferroni, C. E. (1936). *Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità*. Pubblicazioni del R Istituto Superiore di Scienze Economiche e Commerciali di Firenze.
- Shaffer, J. P. (1995). "Multiple hypothesis testing". *Annual Review of Psychology*, 46:561–584.
- Hochberg, Y. (1988). "A sharper Bonferroni procedure for multiple tests of significance". *Biometrika*, 75(4), 800–802.
- Benjamini, Y., & Hochberg, Y. (1995). "Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing". *Journal of the Royal Statistical Society, Series B*, 57(1), 289–300.