# 고유값

## 개요

**고유값**(eigenvalue)은 선형대수학에서 행렬과 선형변환의 핵심적인 성질을 설명하는 중요한 개념이다. 주어진 정방행렬 \( A \)에 대해, 특정한 벡터 \( \mathbf{v} \)가 행렬 \( A \)를 곱했을 때 그 방향이 변하지 않고 크기만 스칼라배로 변하는 경우, 이 스칼라 값을 **고유값**(eigenvalue)이라 하고, 해당 벡터 \( \mathbf{v} \)를 **고유벡터**(eigenvector)라 한다.

고유값과 고유벡터는 물리학, 공학, 통계학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 시스템의 안정성 분석, 주성분 분석(PCA), 진동 모드 해석, 양자역학 등에 널리 활용된다.

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## 고유값의 정의

정방행렬 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \)에 대해 다음 조건을 만족하는 스칼라 \( \lambda \)와 영이 아닌 벡터 \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \)가 존재할 때, \( \lambda \)를 \( A \)의 **고유값**, \( \mathbf{v} \)를 \( \lambda \)에 대응하는 **고유벡터**라 한다.

\[
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
\]

이 식을 변형하면 다음과 같은 동차 선형 시스템을 얻는다:

\[
(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}
\]

여기서 \( I \)는 \( n \times n \) 단위행렬이다. 이 방정식이 영이 아닌 해 \( \mathbf{v} \)를 가지려면 계수행렬 \( A - \lambda I \)가 비가역적이어야 하며, 이는 다음의 조건과 동치이다:

\[
\det(A - \lambda I) = 0
\]

이 방정식을 **특성방정식**(characteristic equation)이라 하며, 이 식의 해가 곧 행렬 \( A \)의 고유값들이다.

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## 고유값의 계산 방법

### 1. 특성다항식 구하기

행렬 \( A \)에 대해 \( \det(A - \lambda I) \)를 계산하면 \( \lambda \)에 대한 \( n \)차 다항식이 나오며, 이를 **특성다항식**(characteristic polynomial)이라 한다.

예를 들어, 다음 \( 2 \times 2 \) 행렬을 고려하자:

\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
\]

이때,

\[
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix}
\]

행렬식은:

\[
\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \cdot 1 = \lambda^2 - 7\lambda + 10
\]

이를 풀면:

\[
\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0
\]

따라서 고유값은 \( \lambda_1 = 5 \), \( \lambda_2 = 2 \)이다.

### 2. 고유벡터 구하기

각 고유값 \( \lambda \)에 대해, 연립방정식 \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \)를 풀어 고유벡터를 구한다.

- \( \lambda_1 = 5 \)일 때:

\[
A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} -v_1 + v_2 = 0 \\ 2v_1 - 2v_2 = 0 \end{cases}
\]

해는 \( v_1 = v_2 \)이므로, 예를 들어 \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

- \( \lambda_2 = 2 \)일 때:

\[
A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow 2v_1 + v_2 = 0
\]

해는 \( v_2 = -2v_1 \), 따라서 \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \)

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## 고유값의 성질

다음은 고유값의 주요 성질들이다:

- **고유값의 합**은 행렬의 **대각합**(trace)과 같다:
  \[
  \sum_{i=1}^n \lambda_i = \operatorname{tr}(A)
  \]

- **고유값의 곱**은 행렬식과 같다:
  \[
  \prod_{i=1}^n \lambda_i = \det(A)
  \]

- 실수 대칭행렬의 고유값은 모두 실수이며, 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 직교한다.

- 복소수 고유값은 일반적으로 켤레쌍 형태로 나타난다 (실수 계수 행렬의 경우).

- 대각화 가능한 행렬은 \( n \)개의 선형독립인 고유벡터를 가진다.

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## 응용 분야

### 1. 주성분 분석 (PCA)

통계학과 머신러닝에서, 공분산행렬의 고유값과 고유벡터를 이용해 데이터의 주요 변동 방향(주성분)을 찾는다. 큰 고유값에 대응하는 고유벡터가 데이터의 주요 패턴을 나타낸다.

### 2. 진동 해석

기계공학에서 구조물의 고유진동수는 시스템의 질량 및 강성 행렬로부터 도출된 고유값 문제로 모델링된다. 고유값이 시스템의 고유진동수의 제곱에 비례한다.

### 3. 양자역학

양자역학에서 관측 가능한 물리량은 헤르미트 연산자로 표현되며, 그 고유값은 가능한 측정 결과를 나타낸다.

### 4. 그래프 이론

그래프의 인접행렬 또는 라플라시안 행렬의 고유값은 그래프의 연결성, 클러스터 구조 등을 분석하는 데 사용된다 (스펙트럴 그래프 이론).

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## 관련 개념

- **고유공간**(eigenspace): 특정 고유값 \( \lambda \)에 대응하는 모든 고유벡터와 영벡터의 집합. 이는 \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \)의 해공간이다.
- **대각화**(diagonalization): \( A = PDP^{-1} \) 형태로 표현 가능할 때, \( D \)는 고유값을 대각성분으로 가지는 행렬, \( P \)는 고유벡터를 열로 갖는 행렬이다.
- **스펙트럼**(spectrum): 행렬의 모든 고유값의 집합.

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## 참고 자료

- Strang, G. (2016). *Introduction to Linear Algebra*. Wellesley-Cambridge Press.
- Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). *Linear Algebra and Its Applications*. Pearson.
- Wikipedia: "Eigenvalues and eigenvectors" — [https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors](https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors)

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고유값은 선형 시스템의 구조를 이해하고 분석하는 데 핵심적인 도구이며, 이론적 의미뿐 아니라 실세계 문제 해결에 있어서도 매우 중요한 역할을 한다.