경사하강법
경사하강법경사하강법(Graidentcent)은 기계습과 인공지능 분야에서 모델의 학습 과정에서 손실 함수(Loss Function)를 최소화하기 위해 널리 사용되는 최적화 알고리즘이다. 이 알고리즘은 주어진 함수의 기울기(경사)를 계산하여, 그 기울기가 가장 가파르게 내려가는 방향으로 매 반복마다 모델의 매개변수를 조정함으로써 최솟값을 찾아가는 방식이다. 경사하강법은 인공신경망, 선형회귀, 로지스틱 회귀 등 다양한 머신러닝 모델의 학습 과정에서 핵심적인 역할을 한다.
개요
모든 머신러닝 모델은 입력 데이터에 대해 정확한 예측을 하기 위해 손실 함수(또는 비용 함수)를 정의하고, 이 값을 최소화하는 매개변수를 찾아야 한다. 경사하강법은 이 최적의 매개변수를 반복적으로 조정하면서 수렴하는 수치적 최적화 기법이다.
수학적으로, 경사하강법은 기울기 벡터(gradient vector)를 계산하고, 이를 음의 방향으로 이동함으로써 함수의 국소적 최솟값에 접근한다. 이는 다변수 함수의 미분을 기반으로 하며, 특히 복잡한 고차원 공간에서도 적용 가능하다는 점에서 매우 강력한 도구로 평가된다.
기본 원리
1. 기울기와 방향성
함수 $ J(\theta) $의 기울기(gradient)는 각 변수에 대한 편미분으로 구성된 벡터이며, 다음과 같이 표현된다:
$$ \nabla J(\theta) = \left[ \frac{\partial J}{\partial \theta_1}, \frac{\partial J}{\partial \theta_2}, \dots, \frac{\partial J}{\partial \theta_n} \right] $$
이 기울기 벡터는 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 가리키므로, 반대 방향(즉, $-\nabla J(\theta)$)으로 이동하면 함수 값이 감소한다.
2. 매개변수 업데이트 규칙
경사하강법의 핵심은 다음과 같은 매개변수 업데이트 식이다:
$$ \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta) $$
- $\theta$: 모델의 매개변수 (예: 가중치, 편향)
- $\alpha$: 학습률(Learning Rate) — 한 번의 업데이트에서 얼마나 크게 이동할지를 결정하는 하이퍼파라미터
- $\nabla J(\theta)$: 손실 함수의 기울기
이 과정을 반복함으로써, 손실 함수의 최솟값에 점진적으로 수렴하게 된다.
경사하강법의 종류
경사하강법은 데이터를 사용하는 방식에 따라 다음과 같이 세 가지 주요 변형이 존재한다.
1. 배치 경사하강법 (Batch Gradient Descent)
- 전체 훈련 데이터셋을 사용하여 한 번의 업데이트를 수행
- 장점: 안정적인 수렴, 정확한 기울기 계산
- 단점: 계산 비용이 큼, 대용량 데이터에서는 느림
- 수식: $$ \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta; X, y) $$ (여기서 $X, y$는 전체 데이터셋)
2. 확률적 경사하강법 (Stochastic Gradient Descent, SGD)
- 각 데이터 샘플 하나씩을 사용하여 매개변수를 업데이트
- 장점: 매우 빠른 업데이트, 메모리 효율적
- 단점: 업데이트 경로가 노이즈가 많고 불안정할 수 있음
- 수식: $$ \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta; x^{(i)}, y^{(i)}) $$ (여기서 $x^{(i)}, y^{(i)}$는 i번째 샘플)
3. 미니배치 경사하강법 (Mini-batch Gradient Descent)
- 전체 데이터를 작은 배치(예: 32, 64, 128개)로 나누어 각 배치마다 업데이트
- SGD와 배치 경사하강법의 장점을 절충한 방식
- 현재 딥러닝에서 가장 일반적으로 사용되는 방법
- 수식: $$ \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta; X^{(b)}, y^{(b)}) $$ (여기서 $X^{(b)}, y^{(b)}$는 하나의 미니배치)
학습률의 중요성
학습률 $\alpha$는 경사하강법의 성능에 결정적인 영향을 미친다.
| 학습률 설정 | 결과 |
|---|---|
| 너무 크면 | 발산하거나 최솟값을 지나침 (overshooting) |
| 너무 작으면 | 수렴 속도가 매우 느려짐 (시간 소모) |
| 적절하면 | 안정적으로 최솟값에 수렴 |
이를 보완하기 위해 적응형 학습률을 사용하는 알고리즘이 개발되었다. 예를 들어, AdaGrad, RMSProp, Adam 등은 학습률을 자동으로 조정하여 더 효율적인 최적화를 수행한다.
문제점과 해결 방안
1. 지역 최솟값 (Local Minima)
- 복잡한 손실 함수에서는 여러 국소 최솟값이 존재할 수 있음
- SGD의 경우 노이즈 덕분에 지역 최솟값을 탈출할 가능성이 있음
2. 안장점 (Saddle Point)
- 일부 차원에서는 최솟값, 다른 차원에서는 최댓값인 지점
- 기울기가 0에 가까워져 업데이트가 느려짐
- 모멘텀(Momentum) 또는 Adam과 같은 알고리즘으로 해결 가능
3. 기울기 소실/폭주 (Vanishing/Exploding Gradients)
관련 알고리즘
| 알고리즘 | 설명 |
|---|---|
| 모멘텀 (Momentum) | 과거 기울기의 지수평균을 사용하여 더 빠르고 안정적인 수렴 달성 |
| Nesterov Accelerated Gradient (NAG) | 모멘텀의 개선 버전, 미래 위치를 예측하여 업데이트 |
| Adam (Adaptive Moment Estimation) | 기울기의 1차 및 2차 모멘트를 기반으로 적응형 학습률 적용, 현재 가장 널리 사용됨 |
활용 예시
간단한 선형 회귀 모델에서 경사하강법을 적용하는 예:
import numpy as np
# 데이터 생성
X = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])
# 초기 가중치 설정
w = 0.0
b = 0.0
learning_rate = 0.01
epochs = 1000
for _ in range(epochs):
# 예측값
y_pred = w * X + b
# 손실 함수 (MSE)
loss = np.mean((y - y_pred) ** 2)
# 기울기 계산
dw = -2 * np.mean((y - y_pred) * X)
db = -2 * np.mean(y - y_pred)
# 매개변수 업데이트
w -= learning_rate * dw
b -= learning_rate * db
print(f"최종 가중치: w = {w}, b = {b}") # w ≈ 2.0, b ≈ 0.0
참고 자료 및 관련 문서
- Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press.
- Ruder, S. (2016). An overview of gradient descent optimization algorithms. arXiv preprint arXiv:1609.04747.
- 관련 문서: 선형회귀, 손실 함수, 역전파 알고리즘, Adam 최적화
경사하강법은 인공지능과 머신러닝의 기초이자 핵심 기술로, 그 원리를 이해하는 것은 모델 학습 과정을 깊이 있게 파악하는 데 필수적이다. 다양한 변형과 개선 알고리즘들이 등장하고 있지만, 그 근본적인 아이디어는 여전히 경사하강법에 기반하고 있다.
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