# 소벨 필터

소벨 필터(Sobel Filter)는 디지털 이미지 처리에서 가장 널리 사용되는 **경계 검출**(Edge Detection) 기법 중 하나로, 이미지 내에서 픽셀 강도의 급격한 변화를 감지하여 객체의 윤곽선을 추출하는 데 목적이 있다. 이 필터는 1968년 아이리언 소벨(Irwin Sobel)과 게리 펠드만(Gary Feldman)에 의해 제안되었으며, **소벨-펠드만 연산자**(Sobel-Feldman operator)라고도 불린다. 실시간 처리와 계산 효율성 측면에서 뛰어난 성능을 제공하여 컴퓨터 비전, 의료 영상 분석, 자율주행 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.

## 개요

이미지에서 경계는 일반적으로 픽셀 값의 **그라디언트**(Gradient)가 급격히 변화하는 부분에 해당한다. 소벨 필터는 이러한 그라디언트의 크기와 방향을 추정하기 위해 컨볼루션(Convolution) 연산을 사용한다. 특히, 수평과 수직 방향의 변화에 각각 반응하는 두 개의 커널(Kernel)을 적용함으로써 이미지의 x축과 y축 방향 기울기를 계산한다.

소벨 필터는 다음과 같은 특징을 갖는다:

- **노이즈에 대한 상대적 강건성**: 미분 연산에 앞서 간단한 평균화를 포함하여 노이즈에 강하다.
- **빠른 계산 속도**: 정수 기반의 커널을 사용해 실시간 처리에 적합하다.
- **방향성 정보 제공**: 경계의 방향까지 추정 가능.

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## 작동 원리

소벨 필터는 2차원 이미지 $ I(x, y) $에 대해 각 픽셀에서의 **그라디언트 벡터** $ \nabla I = (G_x, G_y) $를 계산하는 방식으로 작동한다. 여기서:

- $ G_x $: 수평 방향의 기울기 (x축 방향 변화)
- $ G_y $: 수직 방향의 기울기 (y축 방향 변화)

이 값들은 다음과 같은 두 개의 3×3 커널을 이미지에 컨볼루션하여 구한다.

### 소벨 커널

$$
G_x = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
-2 & 0 & 2 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} * I
\quad
G_y = \begin{bmatrix}
-1 & -2 & -1 \\
 0 &  0 &  0 \\
 1 &  2 &  1 \\
\end{bmatrix} * I
$$

- $ G_x $는 수직 경계(수직 방향의 강도 변화)를 감지한다.
- $ G_y $는 수평 경계(수평 방향의 강도 변화)를 감지한다.

### 그라디언트 크기와 방향

각 픽셀에서 계산된 $ G_x $와 $ G_y $를 바탕으로 다음 두 값을 구할 수 있다:

- **그라디언트 크기 (Magnitude)**:
  $$
  G = \sqrt{G_x^2 + G_y^2}
  $$
  일반적으로 계산을 단순화하기 위해 절댓값 근사 사용:
  $$
  G \approx |G_x| + |G_y|
  $$

- **경계 방향 (Direction)**:
  $$
  \theta = \arctan\left(\frac{G_y}{G_x}\right)
  $$
  방향은 보통 0°, 45°, 90°, 135°로 양자화되어 후처리(예: 비최대 억제)에 사용된다.

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## 알고리즘 절차

소벨 필터를 이용한 경계 검출은 일반적으로 다음 단계로 이루어진다:

1. **이미지 전처리**: 원본 이미지를 그레이스케일로 변환하고, 필요시 가우시안 블러를 적용해 노이즈 제거.
2. **소벨 컨볼루션**: $ G_x $와 $ G_y $를 각각 계산.
3. **그라디언트 강도 계산**: $ G $ 값 생성.
4. **경계 이미지 생성**: $ G $ 값을 임계값과 비교하여 이진화 또는 정규화하여 출력.

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## 장점과 한계

### 장점

- **계산 간단**: 정수 계수 커널을 사용하므로 하드웨어 구현이 용이함.
- **노이즈 억제 효과**: 커널 내부에 약한 평균화 필터 역할이 포함되어 있음.
- **방향 정보 제공**: 경계의 기울기 방향을 알 수 있어 후처리에 유리.

### 한계

- **두꺼운 경계 생성**: 미분 기반 필터 특성상 경계가 다소 두꺼워질 수 있음.
- **정밀도 부족**: 캐니 경계 검출기(Canny Edge Detector) 등과 비교해 정밀도가 낮음.
- **대각선 경계 감지 약함**: 3×3 커널의 제한된 크기로 인해 복잡한 형태의 경계 인식에 한계.

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## 활용 분야

소벨 필터는 다음과 같은 분야에서 널리 사용된다:

- **컴퓨터 비전**: 객체 인식, 특징 추출의 전처리 단계.
- **의료 영상**: X-ray, MRI에서 조직의 경계를 시각화.
- **자율주행**: 차선 인식, 장애물 감지의 초기 단계.
- **이미지 세그멘테이션**: 영역 분할을 위한 전처리 도구.

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## 예시 코드 (Python)

다음은 OpenCV와 NumPy를 사용한 소벨 필터 적용 예시이다:

```python
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 이미지 로드 (그레이스케일)
image = cv2.imread('image.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 소벨 필터 적용
sobel_x = cv2.Sobel(image, cv2.CV_64F, 1, 0, ksize=3)
sobel_y = cv2.Sobel(image, cv2.CV_64F, 0, 1, ksize=3)

# 그라디언트 크기 계산
sobel_magnitude = np.sqrt(sobel_x**2 + sobel_y**2)

# 정규화 및 시각화
sobel_magnitude = np.uint8(255 * sobel_magnitude / np.max(sobel_magnitude))

plt.imshow(sobel_magnitude, cmap='gray')
plt.title('Sobel Edge Detection')
plt.axis('off')
plt.show()
```

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## 관련 기법

- **프리윗 필터**(Prewitt Filter): 소벨과 유사하지만 중앙 가중치가 없어 경계 감지가 약함.
- **로버츠 크로스**(Roberts Cross): 2×2 커널 사용, 경계가 더 날카롭지만 노이즈에 민감.
- **캐니 경계 검출기**(Canny Edge Detector): 소벨을 기반으로 하되, 비최대 억제와 이중 임계값 처리를 추가한 고급 기법.

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## 참고 자료

- Sobel, I., & Feldman, G. (1968). *A 3x3 Isotropic Gradient Operator*. Stanford Artificial Intelligence Project.
- Gonzalez, R. C., & Woods, R. E. (2008). *Digital Image Processing*. Pearson Education.
- OpenCV Documentation: [https://docs.opencv.org](https://docs.opencv.org)

소벨 필터는 현대 영상 처리의 기초를 이루는 핵심 도구로, 그 단순함과 효율성 덕분에 여전히 활발히 사용되고 있다.