# ACF 플롯

## 개요

ACF 플롯utocorrelation Function Plot), 즉자기상관 함수 플롯**은 시계열 분석에서 핵심적인 시각화 도구 중 하나입니다. 이 플롯은 시계열의 각 시점 간 상관관계를 나타내며, 특히 과거 관측값이 현재 관측값에 어떤 영향을 미치는지를 파악하는 데 사용됩니다. ACF 플롯은 시계열 모델링, 특히 ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average) 모델의 식별 과정에서 매우 중요한 역할을 하며, 데이터의 정상성(stationarity), 주기성(seasonality), 잔차 구조 등을 진단하는 데 활용됩니다.

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## ACF란 무엇인가?

### 자기상관 함수의 정의

자기상관 함수(Autocorrelation Function, ACF)는 동일한 시계열에서 서로 다른 시차(lag)를 가진 두 관측값 사이의 **피어슨 상관 계수**를 계산한 것입니다. 시차 $ k $에 대한 자기상관 계수 $ \rho_k $는 다음과 같이 정의됩니다:

$$
\rho_k = \frac{\text{Cov}(y_t, y_{t-k})}{\sqrt{\text{Var}(y_t)\text{Var}(y_{t-k})}} = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}
$$

여기서:
- $ y_t $: 시계열의 관측값
- $ \gamma_k $: 시차 $ k $에서의 공분산
- $ \gamma_0 $: 시계열의 분산

ACF는 일반적으로 시차 $ k = 0, 1, 2, \dots, K $에 대해 계산되며, $ \rho_0 = 1 $이 됩니다 (자기 자신과의 상관은 1).

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## ACF 플롯의 구성 요소

ACF 플롯은 일반적으로 다음 요소들로 구성됩니다:

- **x축**: 시차(lag) — 몇 시간, 몇 일, 몇 개월 전 데이터와의 상관을 보는지를 나타냅니다.
- **y축**: 자기상관 계수 값 — -1에서 1 사이의 값을 가지며, 0에 가까울수록 상관이 낮음을 의미합니다.
- **수직 막대(bar)**: 각 시차에서의 자기상관 계수를 시각적으로 표현합니다.
- **신뢰구간 대역**(보통 파란 점선): 일반적으로 95% 신뢰수준에서 계산되며, 막대가 이 대역을 벗어나면 해당 시차에서의 상관이 통계적으로 유의미하다고 간주됩니다.

```markdown
예시 해석:
- 시차 1에서 막대가 신뢰구간 위에 있다 → 전일 값과 오늘 값 사이에 강한 양의 상관
- 시차 7에서 주기적으로 상관이 나타난다 → 주간 주기성(seasonality) 가능성
```

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## ACF 플롯의 활용

### 1. 정상성(stationarity) 진단

비정상 시계열(non-stationary)은 일반적으로 ACF가 매우 천천히 감소하는 경향을 보입니다. 반면, 정상 시계열은 시차가 증가함에 따라 ACF가 빠르게 0에 수렴합니다. 따라서 ACF 플롯을 통해 데이터의 정상성 여부를 시각적으로 판단할 수 있습니다.

### 2. ARIMA 모델 식별

ACF 플롯은 ARIMA 모델의 차수를 결정하는 데 핵심적입니다:
- **MA(q) 모델**: ACF가 시차 $ q $ 이후 급격히 0으로 떨어짐 (cut-off)
- **AR(p) 모델**: ACF가 천천히 감소 (tapering off)
- **ARMA(p, q) 모델**: ACF와 PACF(편자기상관 함수)를 함께 분석

### 3. 계절성(seasonality) 탐지

ACF 플롯에서 특정 간격(예: 시차 12, 24 등)마다 상관이 반복적으로 나타난다면, 이는 계절성의 존재를 시사합니다. 예를 들어 월간 데이터에서 시차 12마다 피크가 나타난다면 연간 주기성을 의미합니다.

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## ACF 플롯 예시 및 해석

예를 들어, 다음과 같은 ACF 플롯의 특징을 분석해 봅시다:

- 시차 1에서 높은 상관
- 이후 지수적으로 감소
- 시차 5 이후 신뢰구간 내로 수렴

이 경우, 데이터는 **AR(1)** 또는 **AR(2)** 프로세스를 따를 가능성이 높으며, MA 성분은 제한적일 수 있습니다.

반면, 시차 1, 2에서 유의미한 상관이 나타나고 그 이후 급격히 0이 된다면, **MA(2)** 모델이 적합할 수 있습니다.

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## 주의사항 및 한계

- **시차의 선택**: 너무 많은 시차를 포함하면 잡음(noise)이 증가할 수 있으므로, 일반적으로 관측 수의 1/10 이하의 시차를 권장합니다.
- **비정상성 왜곡**: 차분(differencing)하지 않은 비정상 데이터는 ACF를 잘못 해석할 수 있으므로, 분석 전 정상성 검정이 필요합니다.
- **시차의 독립성**: 높은 시차에서의 상관은 표본 크기의 영향을 받아 신뢰도가 낮을 수 있습니다.

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## 관련 도구 및 함수

- **Python (statsmodels)**:
  ```python
  from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
  import matplotlib.pyplot as plt

  plot_acf(data, lags=40)
  plt.show()
  ```

- **R (base)**:
  ```r
  acf(data, lag.max = 40)
  ```

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## 참고 자료

- Hyndman, R.J., & Athanasopoulos, G. (2021). *Forecasting: Principles and Practice* (3rd ed.). OTexts.
- Box, G.E.P., Jenkins, G.M., & Reinsel, G.C. (2015). *Time Series Analysis: Forecasting and Control*. Wiley.
- statsmodels 공식 문서: https://www.statsmodels.org/

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ACF 플롯은 시계열 분석의 첫걸음으로, 데이터의 구조를 이해하고 적절한 모델을 선택하는 데 없어서는 안 될 도구입니다.확한 해석을 통해 모델링의 정확도를 크게 향상시킬 수 있습니다.