다중 로지스틱 회귀
다중 로지스틱 회귀
개요
다중 로지스틱 회귀(Multinomial Logistic Regression)는 이산형 종속 변수를 예측하기 위한 통계적 모델로, 이진 로지스틱 회귀(Binary Logistic Regression)의 확장 형태이다. 이 방법은 두 가지 이상의 클래스(범주)를 가진 문제에 적용되며, 각 클래스에 대한 확률을 동시에 추정하는 특징이 있다. 예를 들어, 고객의 구매 선택(예: A, B, C 제품 중 선택), 질병 유형 분류 등에서 활용된다.
기본 개념
이진 로지스틱 회귀 vs 다중 로지스틱 회귀
- 이진 로지스틱 회귀: 종속 변수가 두 가지 클래스(예: 0/1, 승리/패배)인 경우 사용.
- 다중 로지스틱 회귀: 종속 변수가 세 가지 이상의 클래스인 경우 사용.
예: 기상 예보(맑음, 비, 눈), 학생의 전공 선택(공학, 의학, 인문 등).
기본 원리
다중 로지스틱 회귀는 softmax 함수를 통해 각 클래스에 대한 확률을 계산한다. 이 함수는 입력 값을 정규화하여 확률 분포로 변환하며, 다음과 같은 수식으로 표현된다: $$ P(y = k | \mathbf{x}) = \frac{e^{\beta_k^\top \mathbf{x}}}{\sum_{j=1}^{K} e^{\beta_j^\top \mathbf{x}}} $$ 여기서 $ K $는 클래스 수, $ \beta_k $는 $ k $-번째 클래스에 대한 계수 벡터이다.
수학적 모델링
확률 계산
모델은 입력 특성 $ \mathbf{x} $에 대해 각 클래스 $ k $의 확률을 다음과 같이 계산: $$ P(y = k | \mathbf{x}) = \frac{e^{\beta_k^\top \mathbf{x}}}{\sum_{j=1}^{K} e^{\beta_j^\top \mathbf{x}}} $$
손실 함수
모델을 학습시키기 위해 크로스엔트로피 손실(Cross-Entropy Loss)이 사용된다: $$ L(\theta) = -\sum_{i=1}^{N} \log P(y_i | \mathbf{x}_i) $$ 여기서 $ N $은 데이터 포인트 수, $ \theta $는 모델 파라미터(계수 벡터)이다.
최적화 방법
- 최대 우도 추정(MLE): 손실 함수를 최소화하여 계수 $ \beta_k $를 추정.
- 경사 하강법(GD) 또는 확률 경사 하강법(Stochastic GD)을 사용해 반복적으로 파라미터를 업데이트.
가정과 조건
- 독립성: 관측치 간에 상관관계가 없어야 함.
- 다중 공선성 제거: 독립 변수 간의 강한 상관관계는 모델 성능을 저하시킬 수 있음.
- 로그 선형성: 특성과 로그 확률 사이에 선형 관계가 존재해야 함.
- 클래스 균형: 데이터 분포가 불균형할 경우, 특정 클래스의 예측 정확도가 낮아질 수 있음.
응용 분야
| 산업 | 적용 사례 |
|---|---|
| 마케팅 | 고객 세분화(예: 제품 선택 패턴 분석) |
| 의료 | 질병 유형 진단(예: 암 종류 분류) |
| 컴퓨터 비전 | 이미지 분할 및 객체 인식 |
| 금융 | 신용 등급 평가(예: A, B, C 등급 예측) |
장단점
장점
- 해석성: 계수를 통해 각 특성이 클래스에 미치는 영향을 분석 가능.
- 간결성: 모델이 간단하여 계산 비용이 낮음.
- 다중 클래스 지원: 이진 회귀의 한계를 극복.
단점
- 선형 가정 제한: 특성과 결과 사이에 비선형 관계가 있을 경우 성능 저하.
- 데이터 요구: 충분한 데이터량이 필요하며, 불균형 데이터 처리에 취약.
- 다중 공선성 민감도: 독립 변수 간 상관관계가 높을 경우 계수 추정 오류 발생.
비교: 다른 분류 방법과의 차이
| 알고리즘 | 다중 로지스틱 회귀 | 의사결정 나무 | 신경망 |
|---|---|---|---|
| 모델 복잡도 | 낮음 | 중간 | 높음 |
| 해석성 | 높음 | 중간 | 낮음 |
| 비선형 관계 처리 | 불가능 | 가능 | 가능 |
| 데이터 요구량 | 중간 | 낮음 | 높음 |
구현 예시 (Python)
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
# 샘플 데이터 생성
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=4, n_informative=2,
n_redundant=0, n_classes=3, random_state=42)
# 다중 로지스틱 회귀 모델 학습
model = LogisticRegression(multi_class='multinomial', solver='lbfgs', max_iter=1000)
model.fit(X, y)
# 예측
predictions = model.predict(X)
참고 자료
- Scikit-learn: Logistic Regression
- Multinomial Logistic Regression - Wikipedia
- StatQuest: Logistic Regression
이 문서는 다중 로지스틱 회귀의 기초 개념, 수학적 배경, 실용적인 적용 사례를 종합적으로 설명하며, 데이터 분석 및 머신러닝 모델 설계에 대한 이해를 돕습니다.
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