# 체인 규칙

## 개요

**체인 규칙**(Chain Rule)은 미적분학에서합성함수**(composite function)의 도함수를 구하는 데 사용되는 핵심적인 미분 법칙이다. 두 개 이상의 함수가 합성된 형태, 즉 $ y = f(g(x)) $ 와 같은 함수의 변화율을 계산할 때 매우 유용하며, 고등 수학 및 응용 과학 전반에서 빈번히 사용된다. 체인 규칙은 단순한 함수의 미분 공식만으로는 도출할 수 없는 복잡한 함수의 기울기를 구하는 데 필수적인 도구이다.

이 규칙은 라이프니츠 표기법과 함수 표기법 모두에서 표현할 수 있으며, 다변수 함수로 확장된 경우 **다변수 체인 규칙**으로도 활용된다.

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## 체인 규칙의 정의

### 기본 형태

두 함수 $ f $와 $ g $가 주어졌을 때, 합성함수 $ h(x) = f(g(x)) $의 도함수는 다음과 같이 계산된다:

$$
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

이를 라이프니츠 표기법으로 표현하면:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

여기서 $ y = f(u) $이고 $ u = g(x) $이다.

### 직관적 해석

체인 규칙은 "변화의 전달"을 설명한다. 외부 함수 $ f $는 내부 함수 $ g(x) $의 출력값에 대해 변화하고, 내부 함수 $ g $는 입력값 $ x $에 따라 변화하므로, 전체 변화율은 두 변화율의 곱으로 나타난다.

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## 체인 규칙의 예시

### 예제 1: 기본 합성함수

함수 $ y = (3x^2 + 2)^5 $를 미분해보자.

1. 내부 함수: $ u = 3x^2 + 2 $
2. 외부 함수: $ y = u^5 $

각각의 도함수:
- $ \frac{dy}{du} = 5u^4 $
- $ \frac{du}{dx} = 6x $

체인 규칙 적용:
$$
\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot6x = 5(3x^2 + 2)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 2)^4
$$

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### 예제 2: 삼각함수 합성

함수 $ y = \sin(x^2) $를 미분하라.

- $ u = x^2 $, $ y = \sin(u) $
- $ \frac{dy}{du} = \cos(u) $, $ \frac{du}{dx} = 2x $

따라서:
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(x^2 \cdot 2x = 2x\cos(x^2)
$$

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## 다변수 함수에서의 체인 규칙

체인 규칙은 다변수 미적분학에서도 확장되어 사용된다. 예를 들어, $ z = f(x, y) $이고 $ x = x(t) $, $ y = y(t) $일 때, $ z $를 $ t $에 대해 미분하면:

$$
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
$$

이 형태는 **경로에 따라 변화하는 함수의 변화율**을 구할 때 유용하다. 더 복잡한 경우, 예를 들어 $ x = x(s,t) $, $ y = y(s,t) $라면, 편미분 형태로 각 변수에 대한 체인 규칙을 적용할 수 있다.

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## 체인 규칙의 증명 (개략)

체인 규칙의 엄밀한 증명은 극한의 정의를 기반으로 한다. $ h(x) = f(g(x)) $일 때, 도함수는 다음과 같이 정의된다:

$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}
$$

여기서 $ \Delta u = g(x + \Delta x) - g(x) $로 두면, $ \Delta x \to 0 $일 때 $ \Delta u \to 0 $ (만약 $ g $가 연속적이라면), 따라서:

$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left( \frac{f(g(x) + \Delta u) - f(g(x))}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right)
$$

이때 첫 번째 인자는 $ f'(g(x)) $, 두 번째 인자는 $ g'(x) $로 수렴하므로, 전체 극한은 $ f'(g(x)) \cdot g'(x) $가 된다.

> **주의**: 이 증명은 $ \Delta u \neq 0 $인 경우에만 성립하므로, 엄밀한 증명에서는 $ \Delta u = 0 $인 경우를 별도로 처리해야 한다.

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## 응용 분야

체인 규칙은 다음과 같은 분야에서 핵심적인 역할을 한다:

- **물리학**: 위치, 속도, 가속도 간의 관계 분석 (예: 에너지 함수의 시간 변화)
- **공학**: 제어 시스템, 신호 처리에서 비선형 함수의 민감도 분석
- **경제학**: 생산함수나 효용함수의 변화율 분석
- **기계학습**: 역전파 알고리즘(backpropagation)의 수학적 기초로 사용됨

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## 관련 개념

- **합성함수**(Composite Function): 하나의 함수의 출력이 다른 함수의 입력으로 들어가는 함수
- **편미분**(Partial Derivative): 다변수 함수의 특정 변수에 대한 변화율
- **전미분**(Total Derivative): 모든 변수의 변화를 고려한 전체 변화율
- **역함수의 미분법**: 체인 규칙을 활용하여 유도 가능

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## 참고 자료 및 관련 문서

- Stewart, James. *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning, 2015.
- Thomas, George B. *Thomas' Calculus*. Pearson Education, 2014.
- Khan Academy: [Chain Rule Introduction](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-2-new)
- 위키백과: [Chain Rule](https://ko.wikipedia.org/wiki/연쇄법칙)

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이 문서는 미적분학의 기초 개념인 체인 규칙을 이해하고, 다양한 상황에서 적용할 수 있도록 구성되었다. 수학 학습자 및 응용 과학 분야 연구자에게 유용한 참고 자료가 될 수 있다.