# 다변수 체인 규칙

다변수 체인 규칙(Multivariable Chain Rule)은 다변수 미적분학에서 중요한 도구 중 하나로, **여러 변수에 의존하는 함수의 합성 함수를 미분할 때 사용되는 법칙입니다. 이 규칙은 단일 변수 함수의 체인 규칙을 다변수 함수로 확장한 것으로, 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 함수의 변화율을 분석할 때 핵심적으로 활용됩니다.

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## 개요

단일 변수 함수 $ y = f(g(t)) $의 도함수는 체인 규칙에 따라 $ \frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t) $로 계산됩니다. 그러나 현실 세계의 많은 현상은 여러 변수에 의존하며, 변수들 자체도 또 다른 변수의 함수일 수 있습니다. 예를 들어, 온도 $ T(x, y, z) $가 공간 좌표 $ (x, y, z) $에 따라 달라지고, 이 좌표들이 시간 $ t $의 함수라면, 전체적으로 $ T $는 $ t $의 함수가 됩니다. 이때 $ T $의 시간에 대한 변화율, 즉 $ \frac{dT}{dt} $를 구하려면 **다변수 체인 규칙**이 필요합니다.

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## 기본 형태: 경로를 따르는 함수의 미분

다음과 같은 상황을 가정해 봅시다:

- $ \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $: 시간 $ t $에 따라 변하는 공간상의 경로 (벡터 함수)
- $ f(x, y, z) $: 스칼라 장, 예를 들어 온도나 압력과 같은 물리량

그러면 합성 함수 $ h(t) = f(\mathbf{r}(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) $는 $ t $에 대한 실수값 함수입니다. 이 함수의 도함수는 다음과 같이 계산됩니다:

$$
\frac{dh}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dt}
$$

이를 **기울기 벡터**(Gradient)와 **속도 벡터**(Velocity vector)의 내적 형태로도 표현할 수 있습니다:

$$
\frac{dh}{dt} = \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)
$$

여기서:
- $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $: $ f $의 기울기
- $ \mathbf{r}'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) $: 경로의 속도 벡터

이 식은 "함수가 경로를 따라 얼마나 빠르게 변화하는가"를 나타내며, 물리학에서 **경로를 따라 움직일 때의 온도 변화율** 등을 계산하는 데 유용합니다.

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## 일반화된 형태: 다변수 함수의 합성

다변수 체인 규칙은 더 복잡한 상황으로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 함수 $ z = f(x, y) $에서 $ x = x(u, v) $, $ y = y(u, v) $라면, $ z $는 $ u $와 $ v $의 함수가 됩니다. 이 경우 $ z $의 편도함수는 다음과 같이 구해집니다:

### $ u $에 대한 편도함수:
$$
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}
$$

### $ v $에 대한 편도함수:
$$
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}
$$

이 형태는 **합성 함수의 각 입력 변수에 대한 영향을 부분적으로 분해**하여 계산하는 것을 가능하게 합니다.

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## 행렬 형태: 야코비안을 통한 표현

다변수 체인 규칙은 **야코비안 행렬**(Jacobian matrix)을 사용하면 보다 일반적이고 간결하게 표현할 수 있습니다.

함수 $ \mathbf{F} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m $와 $ \mathbf{G} : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n $가 미분 가능하면, 합성 함수 $ \mathbf{H} = \mathbf{F} \circ \mathbf{G} $의 야코비안은 다음과 같습니다:

$$
J_{\mathbf{H}}(\mathbf{x}) = J_{\mathbf{F}}(\mathbf{G}(\mathbf{x})) \cdot J_{\mathbf{G}}(\mathbf{x})
$$

즉, 합성 함수의 야코비안은 각 함수의 야코비안 행렬의 곱으로 주어집니다. 이는 선형 근사의 관점에서, 각 함수의 미소 변화가 어떻게 전달되는지를 설명합니다.

예를 들어, $ \mathbf{G}(u, v) = (x(u,v), y(u,v)) $이고 $ f(x,y) $가 실수값 함수라면:

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial u} & \frac{\partial f}{\partial v}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{bmatrix}
$$

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## 응용 사례

### 1. 물리학: 운동 중 입자의 온도 변화
입자가 공간을 따라 $ \mathbf{r}(t) $로 이동하고, 온도 분포가 $ T(x, y, z) $일 때, 입자가 느끼는 온도 변화율은:

$$
\frac{dT}{dt} = \nabla T \cdot \mathbf{v}(t)
$$

이 값은 **입자의 속도 방향으로의 기울기 성분**을 의미하며, 열전달 이론 등에서 중요합니다.

### 2. 경제학: 생산 함수의 변화율
생산량 $ Q(K, L) $가 자본 $ K(t) $와 노동 $ L(t) $에 의존할 때, 시간에 따른 생산 변화율은:

$$
\frac{dQ}{dt} = \frac{\partial Q}{\partial K} \frac{dK}{dt} + \frac{\partial Q}{\partial L} \frac{dL}{dt}
$$

이를 통해 경제 성장 요인을 분석할 수 있습니다.

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## 참고 자료 및 관련 문서

- **기울기**(Gradient): [기울기](/wiki/기울기)
- **편도함수**: [편도함수](/wiki/편도함수)
- **야코비안 행렬**: [야코비안](/wiki/야코비안)
- **방향 도함수**: [방향 도함수](/wiki/방향_도함수)

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 결론

다변수 체인 규칙은 복잡한 함수 관계 속에서 변수 간의 의존성을 정확히 분석할 수 있게 해주는 핵심 도구입니다. 이는 단순한 미분 공식을 넘어서, **다차원 공간에서의 변화를 정량적으로 이해**하는 데 필수적이며, 이론적 수학뿐 아니라 공학, 과학, 사회과학 전반에서 널리 사용됩니다. 마스터링을 위해서는 기울기, 야코비안, 벡터장 등의 개념과 함께 연습을 통해 직관을 기르는 것이 중요합니다.