도함수
도함수
개요
도함수(derivative)는 수학에서 함수의 변화율을 나타내는 개념으로, 미적분학의 핵심 주제 중 하나입니다. 특정 점에서의 순간적인 변화율이나 기울기를 계산하는 데 사용되며, 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 응용됩니다. 도함수를 통해 함수의 최대/최소값, 곡선의 기울기, 가속도 등을 분석할 수 있습니다.
도함수의 정의
극한을 통한 정의
도함수는 극한(limit) 개념에 기반합니다. 함수 $ f(x) $의 점 $ x = a $에서의 도함수는 다음과 같이 정의됩니다: $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ 이 식은 $ x = a $ 근처에서 함수의 평균 변화율을 점 $ h $가 0에 가까워질 때의 극한으로 표현합니다.
기하학적 해석
도함수는 곡선 위의 특정 점에서의 접선의 기울기를 나타냅니다. 예를 들어, 함수 $ f(x) = x^2 $의 도함수 $ f'(x) = 2x $는 $ x = 1 $에서 접선의 기울기가 2임을 의미합니다.
도함수의 계산 규칙
기본 규칙
- 상수 함수: $ \frac{d}{dx} c = 0 $
- 일차 함수: $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $ (거듭제곱 법칙)
- 합/차의 도함수: $ (f \pm g)' = f' \pm g' $
복합 함수 규칙
- 곱셈 규칙(Product Rule):
$$ (fg)' = f'g + fg' $$ - 나눗셈 규칙(Quotient Rule):
$$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ - 연쇄 법칙(Chain Rule):
$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
예시
함수 $ f(x) = (x^2 + 1)^3 $의 도함수는 연쇄 법칙을 적용하여: $$ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $$
응용 분야
물리학
- 속도와 가속도: 위치 함수 $ s(t) $의 도함수는 속도 $ v(t) = s'(t) $, 두 번째 도함수는 가속도 $ a(t) = v'(t) $입니다.
- 예: $ s(t) = 5t^2 + 3t + 2 \Rightarrow v(t) = 10t + 3 $
경제학
- 마진알 비용: 총비용 함수 $ C(x) $의 도함수는 생산량 증가 시 추가 비용을 나타냅니다.
- 예: $ C(x) = x^2 + 5x \Rightarrow MC = 2x + 5 $
최적화 문제
도함수를 통해 함수의 극대/극소값을 찾습니다. 예를 들어, 수익 함수 $ R(x) = -x^2 + 100x $의 도함수 $ R'(x) = -2x + 100 $을 0으로 둔 후 $ x = 50 $에서 최대 수익을 얻습니다.
고급 개념
다변수 함수의 편도함수
다중 변수 함수 $ f(x, y) $의 편도함수는 다른 변수를 상수로 간주한 상태에서 특정 변수에 대한 도함수입니다. 예: $$ \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + xy + y^3) = 2x + y $$
고계 도함수
도함수의 도함수를 이차 도함수라고 합니다. 예: $ f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2, f''(x) = 6x $
참고 자료
관련 문서
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