# 연쇄 법칙

## 개요

**연쇄 법칙**( Rule)은 미적분학에서 합성함수의 도함수를 구하는 데 사용되는 핵심적인 법칙이다. 특히 기하학과 수학반에서 곡선, 곡면, 다변수 함수의 기울기와 변화율을 분석할 때 중요한 역할을 한다. 연쇄 법칙은 단순한 함수의 미분을 넘어서, 복잡한 함수 구조를 해석하고 계산하는 데 필수적인 도구로, 고등학교 수학부터 대학 수준의 해석기하학 및 벡터 미적분학까지 폭넓게 적용된다.

기하학적으로 볼 때, 연쇄 법칙은 매개변수로 표현된 곡선의 접선 벡터를 구하거나, 다변수 함수의 변화를 경로 따라 추적할 때 유용하게 사용된다. 이 문서에서는 연쇄 법칙의 정의, 수학적 표현, 기하학적 의미, 그리고 실제 응용 사례를 중심으로 설명한다.

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## 연쇄 법칙의 정의

연쇄 법칙은 두 함수가 합성된 형태, 즉 $ h(x) = f(g(x)) $일 때, $ h(x) $의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다는 것을 말한다:

$$
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

이를 말로 풀어쓰면, **외부 함수의 도함수에 내부 함수 값을 대입한 후, 거기에 내부 함수의 도함수를 곱한다**는 의미이다.

예를 들어, $ h(x) = \sin(x^2) $인 경우:
- 외부 함수: $ f(u) = \sin(u) $
- 내부 함수: $ g(x) = x^2 $

그러면:
$$
h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x
$$

이처럼 합성함수의 미분을 단계적으로 처리할 수 있게 해준다.

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## 다변수 함수에서의 연쇄 법칙

기하학에서는 종종 다변수 함수와 매개변수 곡선이 등장하므로, 연쇄 법칙의 다변수 버전을 이해하는 것이 중요하다.

### 매개변수 곡선의 경우

공간 상의 곡선이 $ \vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $로 주어지고, 스칼라 함수 $ f(x, y, z) $가 있다고 하자. 이때 $ f $를 곡선 $ \vec{r}(t) $를 따라 미분하면:

$$
\frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) = \nabla f \cdot \vec{r}'(t)
$$

여기서:
- $ \nabla f $: $ f $의 기울기 벡터 (그래디언트)
- $ \vec{r}'(t) $: 곡선의 접선 벡터

이 식은 **방향도함수**(directional derivative)의 개념과 연결되며, 곡선을 따라 함수가 어떻게 변하는지를 나타낸다.

### 예시

$ f(x, y) = x^2 + y^2 $, $ x(t) = \cos t $, $ y(t) = \sin t $일 때:

$$
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} = (2x)(-\sin t) + (2y)(\cos t)
$$

$ x = \cos t $, $ y = \sin t $를 대입하면:

$$
\frac{df}{dt} = 2\cos t (-\sin t) + 2\sin t (\cos t) = -2\cos t \sin t + 2\sin t \cos t = 0
$$

결과가 0이라는 것은, 이 곡선(단위 원)을 따라 $ f $의 값이 일정하다는 기하학적 의미를 가진다. 실제로 $ f(\cos t, \sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $이므로 상수 함수이다.

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## 기하학적 해석

연쇄 법칙은 기하학적으로 다음과 같이 해석할 수 있다:

- **합성함수의 변화율**은 두 함수의 변화율이 '연쇄적으로' 작용한다는 의미다.
- 매개변수 곡선 위에서의 함수 변화는, 그 점에서의 그래디언트와 곡선의 접선 방향의 내적이다.
- 즉, 연쇄 법칙은 **함수의 변화가 경로에 따라 어떻게 전달되는지를 설명**한다.

예를 들어, 산의 지형을 함수 $ f(x, y) $로 나타내고, 등산로를 매개변수 곡선 $ \vec{r}(t) $로 표현할 때, 연쇄 법칙은 등산로를 따라 올라갈 때 높이가 얼마나 빠르게 변하는지를 계산하는 데 사용된다.

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## 응용 사례

### 1. 곡선의 길이와 속도
매개변수 곡선 $ \vec{r}(t) $의 속도 벡터는 $ \vec{r}'(t) $이며, 그 크기는 $ \|\vec{r}'(t)\| $이다. 이는 연쇄 법칙을 통해 곡선의 길이를 계산하는 적분:

$$
L = \int_a^b \|\vec{r}'(t)\| \, dt
$$

의 기반이 된다.

### 2. 야코비안 행렬
다변수 함수 $ \vec{F}(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) $의 미분은 야코비안 행렬로 표현되며, 이는 연쇄 법칙의 행렬 형태로 확장된다. 기하학적 변환(예: 좌표 변환)에서 널리 사용된다.

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## 관련 개념 및 참고 자료

- **합성함수**(Composite Function)
- **편미분**(Partial Derivative)
- **그래디언트**(Gradient)
- **방향도함수**(Directional Derivative)
- **야코비안**(Jacobian)

### 참고 문헌
- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Marsden, J. E., & Tromba, A. (2012). *Vector Calculus*. W. H. Freeman.

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연쇄 법칙은 수학, 특히 기하학과 물리학에서 함수의 변화를 분석하는 데 있어 없어서는 안 될 도구이다. 그 기초적인 형태부터 고급 응용까지, 다양한 수준에서 학습하고 활용할 필요가 있다.