# 연쇄 법칙

## 개요

**연쇄 법칙Chain Rule)은분학에서 합성함수의 도함수를 구하는 데 사용되는 핵심적인 법이다. 기하적 관점에서 연쇄 법칙은 함수 변화율이 서로 연결된 구조를 가질 때, 변화율을 각 구성 요소의 변화율 분해하여 계산할 수 있게 해준다. 이 법칙은 다변수 함수, 벡터 미적분, 미분기하학 등 고급 수학 분야에서도 폭넓게 활용되며, 특히 곡선의 길이, 곡률, 매개변수화된 기하 도형의 분석에 필수적이다.

연쇄 법칙은 17세기 라이프니츠와 뉴턴에 의해 개발된 미적분학의 기초 중 하나로, 현대 수학 및 과학 전반에서 매우 중요한 역할을 한다.

---

## 연쇄 법칙의 정의

### 기본 형태

함수 $ f(x) $와 $ g(x) $가 미분 가능하고, 합성함수 $ h(x) = f(g(x)) $가 정의될 때, 연쇄 법칙에 따라 $ h(x) $의 도함수는 다음과 같다:

$$
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

이를 라이프니츠 표기법으로 나타내면:

$$
\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}
$$

이 표기법은 변수 간의 종속 관계를 직관적으로 보여주며, 특히 다변수 함수로 확장할 때 유용하다.

---

## 기하학적 해석

기하학적으로 연쇄 법칙은 **변화율의 전파**(propagation of change)를 설명한다. 예를 들어, 곡선이 매개변수 $ t $로 표현된 경우 $ \vec{r}(t) = (x(t), y(t)) $이고, 어떤 스칼라 함수 $ f(x, y) $가 이 곡선 위에서 정의되어 있다면, $ f $의 변화율은 $ t $에 따라 어떻게 변하는지를 연쇄 법칙을 통해 구할 수 있다.

### 매개변수 곡선의 예

$ f(x, y) $가 공간상의 온도 분포를 나타내고, 점 $ (x(t), y(t)) $가 시간 $ t $에 따라 곡선을 따라 움직인다고 하자. 이때 $ f $의 시간에 대한 변화율은 다음과 같다:

$$
\frac{d}{dt}f(x(t), y(t)) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
$$

이 식은 **기울기 벡터**(Gradient) $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $와 **속도 벡터**(Velocity vector) $ \vec{v}(t) = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right) $의 내적으로 해석할 수 있다:

$$
\frac{df}{dt} = \nabla f \cdot \vec{v}
$$

이는 점이 곡선을 따라 이동할 때, 함수 $ f $의 변화가 기울기와 이동 방향에 의해 결정됨을 의미하며, 기하학에서 **방향 도함수**(directional derivative)의 개념과 밀접하게 연결된다.

---

## 다변수 연쇄 법칙

연쇄 법칙은 두 변수 이상의 함수로 확장할 수 있다. 예를 들어, $ z = f(x, y) $이고 $ x = x(u, v) $, $ y = y(u, v) $라면, $ z $를 $ u $와 $ v $에 대해 편미분하면:

$$
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}
$$

이러한 형태는 **야코비안**(Jacobian) 행렬을 사용하여 벡터 함수의 미분을 일반화하는 데 사용되며, 기하학에서는 좌표 변환, 곡면의 접평면, 면적 요소의 변환 등을 다룰 때 필수적이다.

---

## 기하학적 응용 사례

### 1. 곡선의 길이 계산

매개변수 곡선 $ \vec{r}(t) $의 길이를 구할 때, 속도 벡터의 크기를 적분한다:

$$
L = \int_a^b \left\| \frac{d\vec{r}}{dt} \right\| dt
$$

여기서 $ \left\| \frac{d\vec{r}}{dt} \right\| $는 연쇄 법칙을 통해 각 성분의 변화율을 조합하여 계산된다.

### 2. 곡률과 가속도

곡선의 곡률은 위치 벡터의 1차 및 2차 도함수를 사용하여 정의되며, 연쇄 법칙을 통해 매개변수화된 가속도 벡터를 구할 수 있다:

$$
\vec{a}(t) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{d\vec{r}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} \right)
$$

여기서 $ s $는 호 길이 매개변수이며, 연쇄 법칙이 여러 단계에 걸쳐 적용된다.

---

## 참고 자료 및 관련 문서

- [미분기하학](https://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학)
- [합성함수](https://ko.wikipedia.org/wiki/합성함수)
- [편미분](https://ko.wikipedia.org/wiki/편미분)
- [기울기 벡터](https://ko.wikipedia.org/wiki/기울기)
- [야코비안 행렬](https://ko.wikipedia.org/wiki/야코비안)

> **참고 문헌**  
> Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.  
> do Carmo, M. P. (1976). *Differential Geometry of Curves and Surfaces*. Prentice-Hall.

---

연쇄 법칙은 단순한 미분 기술을 넘어서, 기하학적 구조와 변화를 이해하는 데 핵심적인 도구이다. 교육 현장에서는 고등학교 수학(미적분)과 대학의 미적분학, 해석학, 미분기하학 과정에서 반복적으로 다뤄지며, 수학적 사고력을 기르는 데 중요한 역할을 한다.