# 중값

## 개요

**중값**(median)은 통계학에서 자료의 중심 경향(central tendency)을 나타내는 대표적인 척도 중 하나로, 데이터를 크기 순서로 나열했을 때 **가운데에 위치하는 값**을 의미한다. 평균(mean)과 최빈값(mode)과 함께 대표값의 세 가지 주요 지표 중 하나로 꼽히며, 특히 **이상치**(outlier)에 민감하지 않다는 점에서 평균보다 더 강건한(robut) 지표로 평가된다.

중값은 데이터의 분포가 비대칭적이거나 극단적인 값이 포함된 경우에 유용하게 사용되며, 소득 분포, 주택 가격, 생존 시간 등 실제 사회·경제 지표 분석에서 자주 활용된다.

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## 중값의 정의와 계산 방법

### 정의

중값은 주어진 데이터 집합을 **오름차순 또는 내림차순으로 정렬**했을 때, **정확히 중앙에 위치한 값**이다. 데이터의 개수가 홀수일 경우 중앙의 하나의 값이 중값이 되며, 짝수일 경우 중앙에 있는 두 값의 **산술 평균**을 중값으로 취한다.

### 계산 절차

1. 데이터를 크기 순서로 정렬한다.
2. 데이터의 개수 $ n $에 따라 다음과 같이 계산한다:
   - $ n $이 **홀수**일 경우:  
     \[
     \text{중값} = \left( \frac{n+1}{2} \right)\text{번째 값}
     \]
   - $ n $이 **짝수**일 경우:  
     \[
     \text{중값} = \frac{\left( \frac{n}{2} \right)\text{번째 값} + \left( \frac{n}{2} + 1 \right)\text{번째 값}}{2}
     \]

### 예시

다음과 같은 데이터 집합이 있다고 가정하자:

> 3, 1, 7, 5, 9

1. 정렬: 1, 3, 5, 7, 9
2. $ n = 5 $ (홀수) → 중앙의 값은 3번째 값 → **중값 = 5**

다른 예시:

> 2, 4, 6, 8

1. 정렬: 2, 4, 6, 8
2. $ n = 4 $ (짝수) → 2번째와 3번째 값의 평균 → $ \frac{4 + 6}{2} = 5 $ → **중값 = 5**

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## 중값의 특징

### 1. 이상치에 강건함

중값은 평균과 달리 **극단적인 값**(이상치)에 큰 영향을 받지 않는다. 예를 들어, 소득 데이터에서 소수의 고소득자가 있더라도 중값은 전체 데이터의 중간 위치를 반영하므로 안정적인 대표값이 된다.

- 예: 30, 35, 40, 45, **1000**  
  - 평균: $ \frac{30+35+40+45+1000}{5} = 230 $
  - 중값: 40  
  → 평균은 이상치에 의해 왜곡됨. 중값은 대부분의 사람의 소득을 더 잘 대표.

### 2. 순서 척도(ordinal scale)에서도 사용 가능

비율 척도(ratio scale)나 간격 척도(interval scale)가 아닌 **순서 척도**(예: 학점 A, B, C, D, F)에서도 중값을 계산할 수 있다. 이는 평균은 불가능한 경우도 있다.

### 3. 비대칭 분포에서 유리

정규분포를 따르는 데이터에서는 평균과 중값이 거의 일치하지만, **오른쪽 꼬리가 긴 분포**(우측 편포)나 **왼쪽 꼬리가 긴 분포**(좌측 편포)에서는 중값이 중심 경향을 더 잘 나타낸다.

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## 중값과 평균의 비교

| 구분 | 중값 | 평균 |
|------|------|------|
| 정의 | 정렬 후 중앙값 | 모든 값의 총합 ÷ 개수 |
| 이상치 영향 | 거의 없음 (강건함) | 큼 (비강건함) |
| 계산 방식 | 순서 기반 | 산술 계산 기반 |
| 사용 가능한 척도 | 순서, 간격, 비율 척도 | 간격, 비율 척도 |
| 계산 복잡성 | 낮음 (정렬 필요) | 낮음 (단순 평균) |

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## 중값의 활용 분야

### 1. 경제 통계

- **가계 소득 중간값**: 평균 소득보다 국민의 실제 생활 수준을 더 정확히 반영.
- **주택 가격 중간값**: 부동산 시장에서 흔히 사용되며, 고가 아파트의 영향을 배제.

### 2. 의학 및 생물통계

- **생존 기간 중간값**(median survival time): 임상 시험에서 환자의 생존 기간을 요약할 때 사용.
- **혈압, 콜레스테롤 수치**의 중간값으로 집단 비교.

### 3. 교육 평가

- 학생들의 시험 점수 분포에서 중간 성취도를 파악.
- 평균이 왜곡될 수 있는 경우(예: 일부 학생이 매우 낮은 점수) 중값이 더 유용.

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## 관련 개념

### 1. 사분위수(Quartiles)

중값은 **제2사분위수**(Q2)와 동일하다. 사분위수는 데이터를 4등분하는 값으로:
- Q1: 하위 25%
- Q2 (중간 50%): 중값
- Q3: 상위 25%

사분위수는 **상자 수염 그림**(box plot)에서 시각화되며, 데이터의 분포와 산포를 분석하는 데 유용하다.

### 2. 중심극한성정과의 관계

중심극한정리(Central Limit Theorem)는 평균의 표집 분포에 초점이 있으나, 중값의 표집 분포 또한 연구 대상이다. 표본 크기가 커질수록 중값의 분포도 정규분포에 근접하지만, 평균보다 수렴 속도가 느릴 수 있다.

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## 참고 자료

- Moore, D. S., & McCabe, G. P. (2002). *Introduction to the Practice of Statistics*. W.H. Freeman.
- Wilcox, R. R. (2012). *Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing*. Academic Press.
- 한국은행, 통계청. (최신년도). *가계동향조사 보고서*.

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중값은 단순한 계산을 통해도 데이터의 핵심 경향을 효과적으로 파악할 수 있는 강력한 통계 도구이다. 특히 현실 세계의 비정규적 데이터를 다룰 때 그 가치가 두드러지며, 데이터 과학, 사회조사, 의학 연구 등 다양한 분야에서 필수적인 개념으로 자리 잡고 있다.