범주

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작성자
익명
작성일
2025.10.03
조회수
21
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v1
수학 → 위상수학 → 범주론
범주론 사상 합성 함자 위상수학 수학 기초

범주

개요

범주(Category) 범주론(Category Theory) 기본 구성 요소로,학의 다양한 구조와 그들 사이 관계를 추상적으로 다루는 데 사용되는 수학적 개념이다. 범주론은1940대에 샘UEL 에일렌버그(Samuel Eilen)와 손더스 매클레인(Saunders Mac Lane)에 의해 위상수학 호몰로지 이을 정리하기 위한 목적으로 도입되었으며, 이후 현대 수학 전반에 걸쳐 중요한 기초 도구로 자리 잡았다.

범주는 특정 수학적 대상들(예: 집합, 군, 위상공간 등)과 그 대상들 사이의 구조를 보존하는 사상(morphism)들의 집합으로 구성되며, 이 사상들은 합성(composition)과 항등 사상(identity morphism)에 대한 규칙을 만족해야 한다. 이와 같은 추상화를 통해, 다양한 수학 분야에서 공통된 패턴과 성질을 보다 명확하게 이해할 수 있다.

범주의 정의

수학적으로, 범주 $\mathcal{C}$는 다음 두 가지 구성 요소로 이루어진다:

  1. 대상(Objects): $\text{Ob}(\mathcal{C})$로 표기하며, 어떤 수학적 구조(예: 집합, 군, 벡터 공간 등)의 집합이다.
  2. 사상(Morphisms): 임의의 두 대상 $A, B \in \text{Ob}(\mathcal{C})$에 대해, $A$에서 $B$로 가는 사상들의 집합 $\text{Hom}(A, B)$가 존재한다. 이 사상은 함수, 군 준동형, 연속 함수 등 구체적인 수학적 구조에 따라 달라진다.

이 두 구성 요소는 다음 두 가지 공리를 만족해야 한다:

  • 사상의 합성(Composition):
    세 대상 $A, B, C$에 대해, 사상 $f: A \to B$와 $g: B \to C$가 있으면, 합성 사상 $g \circ f: A \to C$가 존재해야 한다.
    또한, 합성은 결합 법칙을 만족해야 한다:
    $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$

  • 항등 사상(Identity Morphism):
    각 대상 $A$에 대해, 항등 사상 $\text{id}_A: A \to A$가 존재하며, 임의의 사상 $f: A \to B$에 대해 다음이 성립한다:
    $f \circ \text{id}_A = f$, $\text{id}_B \circ f = f$

주요 예시

1. 집합의 범주 (Set)

  • 대상: 모든 집합
  • 사상: 집합 사이의 함수
  • 합성: 함수의 통상적인 합성
  • 항등 사상: 각 집합 위의 항등 함수

이 범주는 가장 직관적인 예이며, 대부분의 수학적 구조가 이 범주 위에서 정의된다.

2. 군의 범주 (Grp)

  • 대상: 모든 군
  • 사상: 군 준동형(homomorphism)
  • 합성: 준동형의 합성
  • 항등 사상: 각 군의 항등 준동형

이 범주는 대수학에서 중요한 역할을 하며, 군의 구조 보존을 강조한다.

3. 위상공간의 범주 (Top)

  • 대상: 모든 위상공간
  • 사상: 연속 함수
  • 합성: 함수의 합성
  • 항등 사상: 항등 연속 함수

이 범주는 위상수학에서 핵심적이며, 연속성이라는 위상적 성질을 사상으로 포착한다.

4. 작은 범주 (Small Category)

대상들의 모임이 집합인 범주를 작은 범주라고 한다. 예를 들어, 유한 개의 대상과 유한 개의 사상으로 이루어진 범주는 작은 범주이다. 반면, 모든 집합의 범주 Set은 대상이 너무 많아 집합이 아니므로 큰 범주(large category)에 속한다.

범주의 종류

- 동치 범주 (Equivalent Categories)

두 범주 $\mathcal{C}$와 $\mathcal{D}$가 동치(equivalent)라는 것은, 두 범주 사이에 충실하고 충만한(iso-faithful and full) 함자(functor)가 존재하고, 그 함자가 본질적으로 전사일 때를 말한다. 이는 두 범주가 구조적으로 거의 같음을 의미한다.

- 부분 범주 (Subcategory)

범주 $\mathcal{C}$의 부분 범주 $\mathcal{D}$는 $\mathcal{C}$의 일부 대상과 일부 사상으로 구성되며, $\mathcal{D}$ 자체가 범주 공리를 만족해야 한다. 특히, 모든 사상을 포함하는 경우를 충만한 부분 범주(full subcategory)라고 한다.

- 쌍대 범주 (Opposite Category)

임의의 범주 $\mathcal{C}$에 대해, 쌍대 범주 $\mathcal{C}^{\text{op}}$는 같은 대상 집합을 가지되, 모든 사상의 방향을 뒤집은 범주이다. 즉, $f: A \to B$가 $\mathcal{C}$에 있으면, $\mathcal{C}^{\text{op}}$에서는 $f^{\text{op}}: B \to A$로 간주한다. 이는 수학에서 쌍대성(duality)을 다룰 때 유용하다.

범주론의 중요성

범주론은 수학의 다양한 분야를 통합적으로 이해할 수 있게 해주는 강력한 프레임워크를 제공한다. 특히 다음 분야에서 두드러진 응용을 가진다:

관련 개념

  • 함자(Functor): 두 범주 사이의 구조 보존 사상. 대상과 사상을 대응시키며, 합성과 항등을 보존한다.
  • 자연 변환(Natural Transformation): 두 함자 사이의 관계를 나타내는 사상.
  • 한정(Limit)과 공한정(Colimit): 범주 내에서 특정 조건을 만족하는 보편적 객체.

참고 자료

  • Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer.
  • Awodey, S. (2010). Category Theory. Oxford University Press.
  • nLab: https://ncatlab.org/nlab/show/category — 범주론에 관한 심층적인 온라인 자료.

이 문서는 범주의 정의, 예시, 구조, 그리고 수학에서의 역할을 개관하였다. 범주론은 수학의 추상화와 통합을 가능하게 하며, 현대 수학의 기초를 이해하는 데 필수적인 도구이다.

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