# 변수분리법

변수분리법(Separation of)은 미분방정식 풀기 위한 가장 기초적이면서도 강력한 해법 중 하나로, 독립변수와 종속변수를 각각의 항으로 분리하여 양변을 적분함으로써 해를 구하는 방법이다. 이 방법은 특히 **일계 상미분방정식**(ODE)과 일부 **편미분방정식**(PDE)에 널리 사용되며, 해석적 해를 구할 수 있는 경우가 많아 물리학, 공학, 생물학 등 다양한 분야에서 중요한 도구로 활용된다.

## 개요

변수분리법의 핵심 아이디어는 미분방정식에 포함된 변수들을 좌변과 우변에 각각 모아, 한쪽에는 종속변수에 대한 식만, 다른 쪽에는 독립변수에 대한 식만 남기도록 하는 것이다. 이렇게 분리된 식은 각각의 변수에 대해 독립적으로 적분할 수 있게 되며, 이를 통해 일반해 또는 특수해를 도출할 수 있다.

이 방법은 다음과 같은 형태의 미분방정식에 적용 가능하다:

\[
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
\]

여기서 \( f(x) \)는 오직 독립변수 \( x \)에만 의존하고, \( g(y) \)는 오직 종속변수 \( y \)에만 의존하는 함수이다.

## 변수분리 가능한 미분방정식의 형태

변수분리법이 적용 가능한 미분방정식은 일반적으로 다음의 구조를 가진다:

\[
\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)
\]

이 식을 다음과 같이 변형할 수 있다:

\[
\frac{1}{g(y)} \, dy = f(x) \, dx
\]

이제 좌변은 오직 \( y \)에 관한 식이고, 우변은 오직 \( x \)에 관한 식이므로, 각각 적분할 수 있다:

\[
\int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx + C
\]

여기서 \( C \)는 적분 상수이다. 이 적분 결과로부터 \( y \)에 대한 함수 형태의 해를 얻을 수 있다.

### 예시: 단순한 변수분리 방정식

다음과 같은 미분방정식을 고려하자:

\[
\frac{dy}{dx} = 2x y
\]

이 방정식은 \( f(x) = 2x \), \( g(y) = y \)의 형태이므로 변수분리가 가능하다. 양변을 \( y \)로 나누고 \( dx \)를 분리하면:

\[
\frac{1}{y} \, dy = 2x \, dx
\]

양변을 적분:

\[
\int \frac{1}{y} \, dy = \int 2x \, dx
\]

\[
\ln|y| = x^2 + C
\]

양변에 지수 함수를 취하면:

\[
|y| = e^{x^2 + C} = e^C \cdot e^{x^2}
\]

\( e^C \)는 양의 상수이므로 \( A = \pm e^C \)로 두어 일반해를 다음과 같이 표현할 수 있다:

\[
y = A e^{x^2}
\]

이처럼 변수분리법은 비교적 간단한 절차를 통해 해를 도출할 수 있다.

## 변수분리법의 조건과 제한

변수분리법을 적용하기 위해서는 다음의 조건을 만족해야 한다:

1. **방정식이 변수분리 가능한 형태로 표현 가능해야 한다.**
   - 즉, \( \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \) 형태로 쓸 수 있어야 한다.
2. **\( g(y) \neq 0 \)**이어야 분리 과정에서 \( g(y) \)로 나누는 것이 가능하다.
   - 만약 \( g(y) = 0 \)인 경우, 상수해 \( y = y_0 \) (단, \( g(y_0) = 0 \))가 존재할 수 있으므로 이를 따로 고려해야 한다.
3. **적분이 가능한 함수여야 한다.**
   - \( \frac{1}{g(y)} \)와 \( f(x) \)가 적분 가능한 형태여야 실질적인 해를 구할 수 있다.

### 제한 사항

모든 미분방정식이 변수분리 가능한 것은 아니다. 예를 들어 다음 방정식은 변수분리가 불가능하다:

\[
\frac{dy}{dx} = x + y
\]

이 식은 \( x \)와 \( y \)가 덧셈 형태로 결합되어 있어 \( f(x)g(y) \) 꼴로 표현할 수 없다.

## 편미분방정식에서의 변수분리법

변수분리법은 상미분방정식뿐만 아니라 일부 **선형 편미분방정식**(PDE)에도 적용된다. 특히 **열 방정식**, **파동 방정식**, **라플라스 방정식**과 같은 고전적 PDE에서 해를 구하는 데 널리 사용된다.

예를 들어, 1차원 열 방정식:

\[
\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]

에서 해를 \( u(x,t) = X(x)T(t) \)의 형태로 가정하면, 이를 원래 방정식에 대입하여 변수를 분리할 수 있다. 이 과정을 통해 두 개의 상미분방정식으로 문제를 축소시킬 수 있으며, 경계조건과 초기조건을 이용해 고유값 문제를 해결한다.

이 방법은 **푸리에 급수 해법**의 기초가 되며, 무한급수 형태의 해를 도출하는 데 사용된다.

## 관련 개념 및 확장

- **정적분 인자**(Integrating Factor): 변수분리가 안 되는 일계 선형 미분방정식을 풀기 위한 다른 기법.
- **정적분 가능 조건**: 완전미분방정식(Exact Equation)에서 해를 구할 때 사용.
- **비선형 방정식의 변형**: 일부 비선형 방정식도 적절한 변수 치환을 통해 변수분리 형태로 전환 가능 (예: 베르누이 방정식).

## 참고 자료 및 관련 문서

- [상미분방정식](https://ko.wikipedia.org/wiki/상미분방정식)
- [편미분방정식](https://ko.wikipedia.org/wiki/편미분방정식)
- [열 방정식](https://ko.wikipedia.org/wiki/열_방정식)
- Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2012). *Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems*. Wiley.
- Kreyszig, E. (2010). *Advanced Engineering Mathematics*. Wiley.

변수분리법은 미분방정식 이론의 입문 단계에서 반드시 다뤄지는 핵심 기법이며, 해석적 해를 구하는 데 있어 직관적이고 효율적인 접근법을 제공한다.