함수

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qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.09.14
조회수
2
버전
v1
수학 → 기초수학 → 함수와관계
함수 정의역 치역 일대일함수 전사함수 합성함수 역함수 오일러 기초수학

함수

개요

함수(function)는 수학의 가장 기본 되는 개념 중로, 두 집합 사이의 특정한 관계를 의미한다. 간단히 말해 함수는 입력값(독립변수) 하나에 대해 정확히 하나의 출력값(종속변수) 대응시키는 규칙이다 함수는 수학 전반은 물론 물리, 공학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

함수의 개념은 17세기 이후 수학의 발전과 함께 점차 명확히 정립되었으며, 특히 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 함수를 기호 $ f(x) $ 로 표현하면서 현대적인 함수의 정의에 기초를 마련하였다.

함수의 정의

수학적으로, 함수 $ f $는 두 집합 $ A $와 $ B $ 사이의 관계로 정의되며, 다음 조건을 만족해야 한다:

집합 $ A $(정의역)에 속하는 임의의 원소 $ x $에 대해, 집합 $ B $(공역)에 속하는 유일한 원소 $ y $가 존재하여 $ f(x) = y $이다.

이를 기호로 표현하면:

$$ f: A \to B $$

여기서: - $ A $: 정의역(domain) — 입력값의 집합 - $ B $: 공역(codomain) — 출력값이 속할 수 있는 집합 - $ f(x) $: $ x $에 대응되는 출력값, 즉 함수값

함수의 조건

함수가 되기 위해서는 다음 두 조건이 반드시 충족되어야 한다: 1. 정의역의 모든 원소는 반드시 공역의 원소 하나에 대응되어야 한다. 2. 한 입력값에 대해 두 개 이상의 출력값이 존재해서는 안 된다.

예를 들어, 집합 $ A = \{1, 2, 3\} $, $ B = \{4, 5, 6\} $일 때, 다음은 함수의 예이다:

  • $ f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6 $

반면, $ f(1) = 4 $, $ f(1) = 5 $와 같이 동일한 입력값이 두 개의 출력값을 가지면 함수가 아니다.

함수의 표현 방법

함수는 다양한 방식으로 표현될 수 있으며, 각각의 표현은 상황에 따라 유용하게 사용된다.

1. 기호 표현

가장 일반적인 방법으로, 다음과 같은 수식 형태로 나타낸다:

$$ f(x) = x^2 + 2x + 1 $$

이 경우, $ f $는 $ x $를 제곱하고 $ 2x $를 더하며 1을 더하는 함수임을 의미한다.

2. 표를 이용한 표현

입력값과 출력값을 나열한 표로 표현할 수 있다.

$ x $ $ f(x) $
1 4
2 9
3 16

3. 그래프 표현

좌표평면에서 $ x $축에 입력값, $ y $축에 출력값을 찍어 선이나 곡선으로 연결한 그래프로 나타낸다. 예를 들어, $ f(x) = x^2 $의 그래프는 포물선이다.

4. 화살표 다이어그램

집합 $ A $와 $ B $의 원소 사이에 화살표를 그려 대응 관계를 시각화한다.

A       B
1  →   4
2  →   5
3  →   6

함수의 종류

함수는 그 성질에 따라 여러 가지로 분류할 수 있다.

1. 일대일 함수 (Injective function)

정의역의 서로 다른 원소가 공역의 서로 다른 원소에 대응될 때, 이를 일대일 함수라 한다.

$ x_1 \neq x_2 $이면 $ f(x_1) \neq f(x_2) $

예: $ f(x) = 2x $는 일대일 함수이다.

2. 전사 함수 (Surjective function)

공역의 모든 원소가 정의역의 어떤 원소에 의해 출력될 때, 즉 공역과 치역(range)이 일치할 때 전사 함수라 한다.

예: $ f: \mathbb{R} \to [0, \infty), f(x) = x^2 $는 전사 함수이다 (공역이 음이 아닌 실수일 때).

3. 전단사 함수 (Bijective function)

일대일이면서 동시에 전사인 함수. 역함수의 존재 조건이다.

함수의 연산

두 함수를 조합하여 새로운 함수를 만들 수 있다.

1. 합성함수 (Composite function)

함수 $ f $와 $ g $에 대해, $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $로 정의된다.

예: $ f(x) = x + 1 $, $ g(x) = x^2 $이면
$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x + 1)^2 $

2. 역함수 (Inverse function)

전단사 함수 $ f $에 대해, $ f^{-1}(y) = x $가 성립하는 함수. 즉, $ f^{-1}(f(x)) = x $.

예: $ f(x) = 2x $의 역함수는 $ f^{-1}(x) = \frac{x}{2} $

관련 개념

  • 정의역(Domain): 함수에 입력할 수 있는 값들의 집합
  • 치역(Range): 실제로 출력되는 값들의 집합 (공역의 부분집합)
  • 상수함수: 모든 입력값에 대해 동일한 출력값을 주는 함수 (예: $ f(x) = 5 $)
  • 항등함수: $ f(x) = x $인 함수

참고 자료 및 관련 문서

함수는 수학의 기초이자 핵심 개념으로, 이를 이해함으로써 방정식, 미분, 적분, 확률 등 고급 수학 개념으로의 진입이 가능해진다.

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