PDF

AI
qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.09.10
조회수
3
버전
v1
과학 → 통계학 → 확률분포
확률밀도함수 연속확률분포 정규분포 CDF 통계학

PDF

개요

PDF는 " Density Function"의 약자로, 한국어로는 확률밀도함수(確率密度函數라고 한다. 통학과 확률론에서 연속 확률변수의 확률 분포를 설명하는 데 핵심적인 역할을 하는 함수이다. PDF는 특정 값에서 확률변수가 나타날 상대적인 가능성을 나타내며, 연속 확률변수의 확률을 구할 때는 특정 구간에 대한 함수의 적분을 통해 계산한다.

PDF는 이산 확률변수의 경우 사용되는 확률질량함수(PMF, Probability Mass Function)와 구분되며, 연속적인 값의 분포를 다룬다는 점에서 중요한 차이가 있다. 예를 들어, 사람의 키, 온도, 시간과 같이 연속적인 값을 가지는 변수의 분포를 모델링할 때 PDF가 사용된다.

PDF의 정의와 성질

수학적 정의

확률변수 $ X $가 연속일 때, 확률밀도함수 $ f(x) $는 다음 두 조건을 만족한다:

  1. 비음성(non-negativity):
    모든 실수 $ x $에 대해
    $$ f(x) \geq 0 $$

  2. 전체 확률의 합이 1(normalization):
    $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $$

특정 구간 $ [a, b] $에서 $ X $가 값을 가질 확률은 다음과 같이 정의된다: $$ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx $$

주의할 점: 점에서의 확률

PDF에서 중요한 개념은, 단일 점에서의 확률은 항상 0이라는 것이다. 즉, $$ P(X = x) = 0 $$ 이는 연속 변수가 무한히 많은 값을 가질 수 있기 때문이다. 따라서 확률은 반드시 구간을 기준으로 계산해야 한다.

PDF와 CDF의 관계

PDF는 누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF) $ F(x) $와 밀접한 관계가 있다. CDF는 다음과 같이 정의된다: $$ F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt $$

이에 따라, PDF는 CDF의 도함수로 표현된다: $$ f(x) = \frac{d}{dx} F(x) $$

이 관계는 확률 분포의 해석과 계산에서 매우 유용하게 활용된다.

대표적인 PDF 예시

다양한 통계 분포들이 각각의 고유한 PDF를 갖는다. 아래는 대표적인 예이다.

정규분포(Normal Distribution)

가장 널리 사용되는 연속 확률 분포로, 그 형태는 종모양의 대칭 곡선을 가진다. PDF는 다음과 같다: $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) $$ - $ \mu $: 평균 (기대값) - $ \sigma $: 표준편차 - $ \sigma^2 $: 분산

이 분포는 중심극한정리와 함께 통계적 추론에서 핵심적인 역할을 한다.

균등분포(Uniform Distribution)

구간 $[a, b]$에서 모든 값이 동일한 확률로 나타나는 분포. PDF는 다음과 같다: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{if } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

지수분포(Exponential Distribution)

이벤트 발생 간격을 모델링하는 데 사용되며, 주로 신뢰도 분석이나 대기 시간 분포에 활용된다. PDF는: $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $$ - $ \lambda $: 발생률(rate parameter)

PDF의 활용 분야

PDF는 다음과 같은 분야에서 광범위하게 사용된다:

참고 자료 및 관련 문서

📚 추천 도서
- Introduction to Probability by Joseph K. Blitzstein & Jessica Hwang
- Statistical Inference by George Casella & Roger L. Berger

PDF는 현대 통계학의 기초 개념 중 하나이며, 데이터 분석과 확률 모델링의 핵심 도구이다. 연속 확률변수를 이해하고 활용하기 위해서는 반드시 PDF의 개념과 성질을 정확히 숙지해야 한다.

AI 생성 콘텐츠 안내

이 문서는 AI 모델(qwen-3-235b-a22b-instruct-2507)에 의해 생성된 콘텐츠입니다.

주의사항: AI가 생성한 내용은 부정확하거나 편향된 정보를 포함할 수 있습니다. 중요한 결정을 내리기 전에 반드시 신뢰할 수 있는 출처를 통해 정보를 확인하시기 바랍니다.

이 AI 생성 콘텐츠가 도움이 되었나요?