# 벡터

## 개요

벡터(Vector)는 수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 핵심적인 개념으로 사용되는 수학적 객체이다. 직관적으로 벡터는 **크기**(magnitude)와 **방향**(direction)을 동시에 가지는 양으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 속도, 힘, 전기장 등은 모두 방향과 크기를 가지므로 벡터로 표현된다. 반면, 온도나 질량처럼 크기만 있는 양은 **스칼라**(Scalar)라 한다.

선형대수학에서 벡터는 보다 추상적으로 정의되며, 벡터 공간(Vector Space) 내의 원소로 간주된다. 이 문서에서는 벡터의 기본 개념, 표현 방법, 연산, 그리고 응용까지 체계적으로 다룬다.

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## 벡터의 정의와 표현

### 기하학적 정의

기하학적으로, 벡터는 **화살표**(arrow)로 시각화할 수 있다. 이 화살표는 다음 두 가지 속성을 가진다:

- **크기**(또는 길이): 화살표의 길이로 표현되며, 벡터의 강도를 나타낸다.
- **방향**: 화살표가 가리키는 방향을 의미한다.

예를 들어, 2차원 평면에서 점 \( A \)에서 점 \( B \)로 향하는 벡터는 \( \vec{AB} \)로 표기하며, \( A \)는 시작점, \( B \)는 끝점이다.

### 대수적 표현

대수적으로, 벡터는 숫자의 순서쌍 또는 순서리스트로 표현된다. 예를 들어, 2차원 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다:

\[
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}
\]

이 벡터는 \( x \)-축 방향으로 3, \( y \)-축 방향으로 4만큼 이동함을 의미한다. 일반적으로 \( n \)-차원 벡터는 \( n \)개의 실수로 구성된 열벡터 또는 행벡터로 표현된다.

벡터는 보통 소문자에 굵은 글씨체(\( \mathbf{v} \)) 또는 위에 화살표를 붙인 기호(\( \vec{v} \))로 표기한다.

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## 벡터 연산

벡터는 덧셈, 스칼라 곱, 내적, 외적 등의 연산이 가능하다.

### 벡터의 덧셈

두 벡터 \( \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} \), \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \)의 덧셈은 성분별로 수행된다:

\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{bmatrix}
\]

기하학적으로는 평행사변형 법칙이나 삼각형 법칙을 사용하여 화살표를 이어붙여 결과 벡터를 구할 수 있다.

### 스칼라 곱

스칼라 \( c \)와 벡터 \( \mathbf{v} \)의 곱은 벡터의 각 성분에 \( c \)를 곱한 결과이다:

\[
c \mathbf{v} = \begin{bmatrix} c v_1 \\ c v_2 \end{bmatrix}
\]

이 연산은 벡터의 **크기 조절**(확대/축소)과 **방향 반전**(음수일 때)을 가능하게 한다.

### 내적 (점곱, Dot Product)

두 벡터 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \)의 내적은 다음과 같이 정의된다:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n
\]

또는 각도 \( \theta \)를 이용해 다음과 같이 표현할 수 있다:

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta
\]

내적은 두 벡터 간의 **각도**, **직교성**(내적이 0이면 수직), **정사영**(Projection) 계산에 유용하다.

### 외적 (벡터곱, Cross Product)

외적은 3차원 벡터에만 정의되며, 두 벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3 \)의 외적은 새로운 벡터를 생성한다:

\[
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix}
u_2 v_3 - u_3 v_2 \\
u_3 v_1 - u_1 v_3 \\
u_1 v_2 - u_2 v_1
\end{bmatrix}
\]

결과 벡터는 \( \mathbf{u} \)와 \( \mathbf{v} \) 모두에 **수직**이며, 그 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다.

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## 벡터 공간과 선형 결합

### 벡터 공간

벡터는 단순한 화살표를 넘어서, **벡터 공간**(또는 선형 공간)이라는 추상적 구조의 원소로 정의된다. 벡터 공간은 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀 있으며, 다음의 공리들을 만족해야 한다:

- 덧셈의 결합법칙, 교환법칙
- 영벡터의 존재
- 역벡터의 존재
- 스칼라 곱의 분배법칙 등

대표적인 예로는 \( \mathbb{R}^n \) (n차원 실수 공간)이 있다.

### 선형 결합과 기저

벡터 \( \mathbf{v} \)가 다른 벡터들 \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \)의 **선형 결합**(Linear Combination)으로 표현될 수 있다면, 다음과 같은 형태를 가진다:

\[
\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k
\]

특정 집합의 벡터들이 **일차독립**(Linearly Independent)이고, 그 선형 결합으로 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있다면, 이 집합을 **기저**(Basis)라 한다. 기저에 포함된 벡터의 수는 해당 공간의 **차원**(Dimension)이다.

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## 응용 분야

벡터는 다음과 같은 분야에서 널리 사용된다:

- **물리학**: 힘, 가속도, 운동량 등 방향성을 가진 물리량 표현
- **컴퓨터 그래픽스**: 3D 모델링, 카메라 시점 변환, 조명 계산
- **기계학습**: 데이터 샘플을 벡터로 표현 (예: 단어 임베딩)
- **공학**: 전기장, 자기장, 유체 흐름 분석

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## 관련 문서 및 참고 자료

- [벡터 공간](벡터_공간.md)
- [행렬](행렬.md)
- [내적 공간](내적_공간.md)
- Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra*, Wellesley-Cambridge Press
- Howard Anton, *Elementary Linear Algebra*

벡터는 선형대수의 기초이자 핵심 개념으로, 현대 과학과 기술의 기초를 형성한다.