# Brant Test

## 개요

**Brant Test**(브란트 검)는 통계에서 다항 로지틱 회귀 모델(Multinomial Logistic Regression)의 **비례 오즈 가정**(Proportional Odds Assumption)을 검정하기 위한 통계적 방법이다. 이 검정은 다항 로지스틱 회귀 모델을 사용할 때 독립 변수들이 종속 변수의 각 범주에 대해 동일한 영향을 미친다는 가정이 타당한지를 평가하는 데 사용된다. 이 가정이 성립하지 않을 경우, 모델의 해석이 왜곡될 수 있으므로 Brant Test는 모델 타당성 평가에 중요한 역할을 한다.

Brant Test는 1990년 Robert Brant에 의해 제안되었으며, 주로 순서형 범주 데이터(ordinal categorical data)를 분석할 때 사용되는 **순서 로지스틱 회귀**(Ordered Logistic Regression) 모델의 핵심 가정을 진단하는 데 활용된다.

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## 비례 오즈 가정 (Proportional Odds Assumption)

### 정의

비례 오즈 가정은 순서형 로지스틱 회귀 모델의 핵심 전제로, 모든 범주 간의 경계(cut points)에 대해 독립 변수의 영향이 동일하다는 것을 의미한다. 즉, 독립 변수 $X$가 종속 변수 $Y$의 "범주 1 vs 나머지", "범주 1-2 vs 나머지", ..., "범주 1~k-1 vs 범주 k"와 같은 누적 사건에서 **동일한 오즈 비**(odds ratio)를 유지해야 한다.

이 가정이 성립하면, 하나의 계수(coefficient)로 독립 변수의 영향을 설명할 수 있어 모델이 간결하고 해석이 용이하다.

### 가정 위반 시의 문제

비례 오즈 가정이 위반될 경우, 순서 로지스틱 회귀 모델은 편향된 추정치를 제공할 수 있으며, 결과 해석이 잘못될 위험이 있다. 이 경우 다음과 같은 대안 모델을 고려해야 한다:

- **일반화 오즈 비 모델**(Generalized Odds Ratio Model)
- **다항 로지스틱 회귀 모델**(Multinomial Logistic Regression)
- **부분 비례 오즈 모델**(Partial Proportional Odds Model)

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## Brant Test의 원리

### 검정 방법

Brant Test는 다음과 같은 절차를 따른다:

1. 순서 로지스틱 회귀 모델을 적합한다.
2. 각 범주에 대한 **누적 로지스틱 회귀 모델**을 개별적으로 적합한다. 예를 들어, $K$개의 범주가 있다면 $K-1$개의 이진 로지스틱 회귀 모델을 만든다.
3. 각 독립 변수에 대해, 순서 모델의 계수와 개별 누적 모델의 계수 간의 차이를 분석한다.
4. 계수 차이가 통계적으로 유의미한지를 검정하여 비례 오즈 가정을 평가한다.

### 검정 통계량

Brant Test는 **카이제곱 검정 통계량**(Chi-squared statistic)을 사용한다. 전체 검정 통계량은 독립 변수별 계수 차이의 공분산 구조를 기반으로 계산되며, 자유도는 독립 변수의 수와 범주의 수에 따라 결정된다.

검정의 귀무가설($H_0$)은 "**비례 오즈 가정이 성립한다**"이며, 대립가설($H_1$)은 "**가정이 위반된다**"이다.

- $p$-값이 유의수준(예: 0.05)보다 작으면 귀무가설 기각 → 가정 위반
- $p$-값이 크면 가정을 유지

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## 활용 예시 및 해석

### R에서의 구현

R의 `brant` 패키지 또는 `epiDisplay`, `VGAM` 패키지를 사용하여 Brant Test를 수행할 수 있다.

```r
# 예: brant 패키지 사용
library(brant)

# 순서 로지스틱 회귀 모델 적합
model <- polr(y ~ x1 + x2, data = mydata, Hess = TRUE)

# Brant Test 수행
brant_result <- brant(model)
print(brant_result)
```

출력 예:
```
Brant Test of Parallel Regression Assumption
Variable:      chi2  df  p
x1            2.1    2  0.35
x2            6.7    2  0.03
Overall       8.8    4  0.06

H0: proportional odds assumption holds
```

- `x2`의 $p$-값이 0.03으로 유의수준 0.05보다 작으므로, 이 변수에 대해 비례 오즈 가정이 위반됨을 시사.
- 전체 모델의 $p$-값이 0.06으로 경계선 수준 → 모델 재검토 필요.

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## 한계 및 주의사항

- Brant Test는 **표본 크기**에 민감하다. 큰 표본에서는 사소한 위반도 통계적으로 유의하게 나타날 수 있음.
- 반대로 소표본에서는 실제 위반이 있어도 검출하지 못할 수 있음.
- 변수별 검정과 전체 검정을 함께 고려해야 하며, 특정 변수만 가정을 위반한다면 **부분 비례 오즈 모델**을 고려할 수 있음.
- 순서형 변수의 범주가 너무 많거나 불균형할 경우 검정의 신뢰도가 떨어질 수 있음.

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## 관련 개념 및 대안 방법

| 개념 | 설명 |
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| **Wald 검정** | 비례 오즈 가정을 검정하는 다른 방법. 계수의 동일성에 대한 직접적인 검정. |
| **Likelihood Ratio Test** | 비례 오즈 모델과 비비례 모델의 적합도를 비교. 계산이 복잡할 수 있음. |
| **Score Test** | 계산 효율성이 높지만, 소표본에서 정확도가 낮을 수 있음. |

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## 참고 자료

- Brant, R. (1990). "Assessing Proportionality in the Proportional Odds Model for Ordinal Logistic Regression." *Biometrics*, 46(4), 1171–1178.
- Long, J. S. (1997). *Regression Models for Categorical and Limited Dependent Variables*. Sage Publications.
- Agresti, A. (2010). *Analysis of Ordinal Categorical Data*. Wiley.

> 📌 **관련 문서**: [순서 로지스틱 회귀](/wiki/Ordered_Logistic_Regression), [다항 로지스틱 회귀](/wiki/Multinomial_Logistic_Regression), [모델 진단](/wiki/Model_Diagnostics)

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Brant Test는 순서형 데이터 분석에서 모델 가정을 검증하는 데 중요한 도구로, 결과 해석의 타당성을 보장하기 위해 반드시 수행되어야 하는 진단 절차 중 하나이다.