# 푸리에 급수

## 개요

**푸리에 급수**(Fourier series)는 주기 함수를 삼각함수(사인과 코사인) 또는 복소 지수 함수의 무한 급수로 표현하는 수학적 도구이다. 이 급수는 프랑스의 수학자 **조제프 푸리에**(Joseph Fourier)가 열전도 방정식을 푸는 과정에서 처음 제안하였으며, 이후 해석학, 물리학, 공학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 하고 있다.

푸리에 급수의 핵심 아이디어는 "임의의 주기 함수는 기본 주파수와 그 배수 주파수의 사인 및 코사인 파형들의 합으로 분해될 수 있다"는 것이다. 이는 함수의 **주파수 성분**(frequency components)을 분석하는 데 유용하며, 특히 신호의 주파수 분석, 이미지 처리, 음향학, 통신 이론 등에서 널리 활용된다.

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## 정의와 수학적 표현

### 실수형 푸리에 급수

주기가 $ 2L $인 주기 함수 $ f(x) $가 구간 $ [-L, L] $에서 조각적으로 연속이고 유한 개의 불연속점을 가지며, 유한한 미분 값을 갖는다면, 이 함수는 다음 형태의 **푸리에 급수**로 전개될 수 있다:

$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right)
$$

여기서 계수 $ a_n $과 $ b_n $은 다음과 같이 주어진다:

- $$
  a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx
  $$
- $$
  a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx \quad (n \geq 1)
  $$
- $$
  b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx \quad (n \geq 1)
  $$

이 계수들을 **푸리에 계수**(Fourier coefficients)라고 한다.

### 복소형 푸리에 급수

복소수 지수 함수 $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $를 이용하면, 푸리에 급수를 보다 간결한 형태로 표현할 수 있다. 주기 $ 2L $인 함수 $ f(x) $에 대해:

$$
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{n\pi x}{L}}
$$

여기서 복소 푸리에 계수 $ c_n $은 다음과 같다:

$$
c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-i \frac{n\pi x}{L}} \, dx
$$

복소형 표현은 특히 신호 처리와 양자역학 등에서 자주 사용되며, 계산의 대칭성과 간결성을 제공한다.

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## 수렴 조건

푸리에 급수가 원래 함수 $ f(x) $에 수렴하기 위해서는 일정한 조건을 만족해야 한다. 대표적인 조건은 **디리클레 조건**(Dirichlet conditions)이다:

1. 함수 $ f(x) $는 주기 구간 내에서 유한 개의 불연속점을 가진다.
2. 함수 $ f(x) $는 주기 구간 내에서 유한 개의 극대 및 극소를 가진다.
3. 함수 $ f(x) $는 주기 구간 내에서 절대 적분 가능하다. 즉, $ \int_{-L}^{L} |f(x)| dx < \infty $.

이 조건을 만족하면, 푸리에 급수는 $ f(x) $의 연속점에서 $ f(x) $로 수렴하고, 불연속점에서는 좌우 극한의 평균값으로 수렴한다. 이 현상을 **디리클레 정리**(Dirichlet's theorem)라고 한다.

> **예시**: 구간 $ [-\pi, \pi] $에서 정의된 계단 함수(예: 부호 함수)는 불연속점을 가지지만 푸리에 급수로 전개 가능하며, 불연속점에서 급수는 0으로 수렴한다 (좌극한 -1, 우극한 1의 평균).

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## 주요 성질

### 1. 직교성 (Orthogonality)
삼각함수 계열 $ \{1, \cos(nx), \sin(nx)\} $는 구간 $ [-\pi, \pi] $에서 직교 함수계를 이룬다. 예를 들어:

- $ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)\,dx = \pi \delta_{mn} $ (단, $ m,n \geq 1 $)
- $ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\sin(nx)\,dx = \pi \delta_{mn} $
- $ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\sin(nx)\,dx = 0 $

이러한 직교성은 푸리에 계수의 유도에 핵심적이다.

### 2. 파르세발 항등식 (Parseval's Identity)
푸리에 급수의 에너지 보존 법칙을 나타내며, 다음과 같다:

$$
\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} |f(x)|^2 dx = \frac{|a_0|^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (|a_n|^2 + |b_n|^2)
$$

복소형에서는:

$$
\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} |f(x)|^2 dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2
$$

이 성질은 신호의 에너지가 주파수 성분들로 어떻게 분포되는지를 분석하는 데 유용하다.

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## 응용 분야

### 1. 신호 처리
아날로그 신호를 주파수 성분으로 분해하여 노이즈 제거, 필터링, 압축 등에 활용된다. 예를 들어, MP3, JPEG 등은 푸리에 기반 변환(또는 그 변형)을 사용한다.

### 2. 편미분 방정식 해법
열 방정식, 파동 방정식, 라플라스 방정식 등 선형 편미분 방정식의 해를 구할 때, 경계 조건이 주기적이면 푸리에 급수를 사용해 해를 표현할 수 있다.

### 3. 전자공학
AC 회로 분석, 주파수 응답, 스펙트럼 분석 등에서 필수적인 도구이다.

### 4. 양자역학
파동 함수를 주기적 기저 함수(예: 평면파)로 전개할 때 사용되며, 모멘텀 공간 표현과 밀접한 관련이 있다.

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## 관련 개념

- **푸리에 변환**(Fourier Transform): 비주기 함수에 대한 일반화된 형태.
- **이산 푸리에 변환**(DFT): 디지털 신호 처리에서 유한한 샘플 데이터에 적용.
- **푸리에 급수 전개 예시**: 사각파, 톱니파, 삼각파 등은 유한한 수의 항으로 정확히 표현되지 않지만, 무한 급수로 수렴한다.

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## 참고 자료

- Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). *Fourier Analysis: An Introduction*. Princeton University Press.
- Kreyszig, E. (2011). *Advanced Engineering Mathematics*. Wiley.
- Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2012). *Mathematical Methods for Physicists*. Academic Press.

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