열린_집합.md

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qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.09.30
조회수
19
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v1
수학 → 위상수학 → 일반 위상
열린 집합 일반 위상수학 위상 공간 기하적 직관 중급

열린 집합

열린 집합(Open Set) **일반 위상수학General Topology) 가장 기본적이고 핵심적인 개념 중 하나이다. 위 공간에서 열린합은 점들의 "처" 또는 "주"을 수학적으로 정의하는 데 사용되며, 연속성, 수렴, 연결성 등의 위상적 성질을 정의하는 데 필적인 역할을. 이 문서에서는 열린 집합의 정의, 성질, 예시, 그리고상 수학에서의 중요성을 다룬다.

개요

열린 집합은 기하학적 직관에서 출발한다. 예를 들어, 실수 직선에서 구간 $(a, b)$는 양 끝점 $a$와 $b$를 포함하지 않으며, 이 구간 내의 모든 점은 그 주변에 다른 점들을 포함하는 "여유"를 가진다. 이러한 집합을 열린 집합이라고 부르며, 이 개념을 일반적인 공간으로 확장한 것이 위상수학의 출발점이다.

열린 집합은 위상 공간을 정의하는 데 사용되며, 위상 공간은 특정 조건을 만족하는 열린 집합들의 집합족(즉, 위상)으로 구성된다.

정의

위상 공간과 열린 집합

위상 공간 $(X, \tau)$는 집합 $X$와 그 부분집합들의 모임 $\tau$로 구성되며, $\tau$를 위상(topology)이라고 한다. $\tau$는 다음 세 조건을 만족해야 한다:

  1. 공집합과 전체 집합이 포함된다:
    $\emptyset \in \tau$, $X \in \tau$

  2. 임의의 합집합이 열린 집합이다:
    $\{U_i\}_{i \in I} \subseteq \tau$이면, $\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$

  3. 유한한 교집합이 열 집합이다:
    $U_1, U_2, \dots, U_n \in \tau$이면, $\bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau$

이때, $\tau$에 속하는 각 집합 $U$를 열린 집합(open set)이라고 정의한다.

열린 집합의 기하적 직관

유리수나 실수 공간에서 열린 집합은 다음과 같이 이해할 수 있다:

  • 실수 직선 $\mathbb{R}$에서 열린 구간 $(a, b)$는 열린 집합이다.
  • 점 $x \in X$에 대해, $x$를 포함하는 열린 집합 $U$는 $x$의 근방(neighborhood)이라 하며, $x$ 주변의 점들을 포함한다.

성질

열린 집합은 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다:

1. 열린 집합의 합집합은 항상 열린 집합

임의의 개수의 열린 집합의 합집합은 여전히 열린 집합이다. 이는 위상의 정의에서 직접 유도된다.

예:
$(0,1)$, $(1,2)$, $(2,3)$은 모두 $\mathbb{R}$에서 열린 집합이며,
$(0,1) \cup (1,2) \cup (2,3) = (0,3) \setminus \{1,2\}$는 열린 집합이 아니다.
하지만 $(0,2) \cup (1,3) = (0,3)$는 열린 집합이다.

주의: 합집합이 유한하든 무한하든 상관없이 항상 열린 집합이다.

2. 유한 개의 열린 집합의 교집합은 열린 집합

무한 개의 열린 집합의 교집합은 열린 집합이 아닐 수 있다.

예:
$\mathbb{R}$에서 $U_n = \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$는 각각 열린 집합이다.
하지만 $\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n = \{0\}$는 열린 집합이 아니다 (한 점만 포함하므로).

3. 열린 집합과 닫힌 집합

열린 집합의 여집합은 닫힌 집합(closed set)이다. 그러나 집합이 열린 집합이 아니라고 해서 반드시 닫힌 집합인 것은 아니다.
예: 구간 $[0,1)$는 $\mathbb{R}$에서 열린 집합도 닫힌 집합도 아니다.

예시

1. 실수 공간 $\mathbb{R}$에서의 열린 집합

  • 열린 구간: $(a, b)$
  • 열린 구: $\{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x - a\| < r\}$ (유클리드 노름 기준)

2. 이산 위상(discrete topology)

집합 $X$에 대해 모든 부분집합이 열린 집합인 위상. 즉, $\tau = \mathcal{P}(X)$ (멱집합).
이 경우 모든 집합이 열린 집합이다.

3. 밀착 위상(indiscrete topology)

$\tau = \{\emptyset, X\}$인 경우.
이 경우 열린 집합은 오직 공집합과 전체 집합뿐이다.

4. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$

표준 위상에서는 열린 공(open ball)들의 합집합으로 표현되는 집합들이 열린 집합이다.
즉, $U \subseteq \mathbb{R}^n$가 열린 집합이란 것은, 모든 $x \in U$에 대해 적당한 $\varepsilon > 0$가 존재하여
$B_\varepsilon(x) = \{y \mid \|x - y\| < \varepsilon\} \subseteq U$를 만족하는 것이다.

관련 개념

1. 기저(Base)와 부분기저(Subbase)

  • 위상 $\tau$를 생성하는 더 작은 집합족을 기저(base)라고 한다.
  • 기저의 원소들은 열린 집합이며, 모든 열린 집합은 기저의 원소들의 합집합으로 표현된다.
  • 예: $\mathbb{R}$에서 모든 열린 구간 $(a,b)$는 표준 위상의 기저를 이룬다.

2. 열린 사상(Open Map)

위상 공간 사이의 함수 $f: X \to Y$가 열린 집합을 열린 집합으로 보내는 경우, 이를 열린 사상이라 한다.

3. 상대 위상(Subspace Topology)

부분집합 $Y \subseteq X$에 대해, $X$의 열린 집합과 $Y$의 교집합으로 이루어진 집합들이 $Y$의 열린 집합이 된다.

중요성과 응용

열린 집합은 다음과 같은 위상적 개념들을 정의하는 데 핵심적이다:

  • 연속 함수: 함수 $f: X \to Y$가 연속이란 것은, $Y$의 모든 열린 집합 $V$에 대해 $f^{-1}(V)$가 $X$에서 열린 집합인 것이다.
  • 수렴: 수열 $x_n \to x$는, 임의의 $x$의 열린 근방 $U$에 대해 $n \geq N$이면 $x_n \in U$가 되도록 하는 $N$이 존재함을 의미한다.
  • 위상 동형(Homeomorphism): 두 공간이 열린 집합의 구조가 동일할 때 위상 동형이라 한다.

참고 자료 및 관련 문서

열린 집합은 현대 수학의 많은 분야 — 해석학, 기하학, 대수적 위상수학 등 — 에서 기본적인 도구로 사용되며, 수학적 구조를 탐구하는 데 없어서는 안 될 개념이다.

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