# 연속 함수

## 개요

**연속 함수**(continuous function)는 위상수학에서 가장 기본적이면서도 핵심적인 개념 중 하나이다. 직관적으로, 연속 함수란 입력값이 조금만 변할 때 출력값도 조금만 변하는 함수를 의미한다.는 기하학적으로 "끊김 없이 이어지는 그래프"를 그리는 함수와 유사하다. 그러나 위상수학에서는 거리 개념이 필요 없이, **열린 집합**(open set)을 통해 연속성을 정의함으로써 더욱 일반화된 개념을 다룬다.

연속 함수는 해석학, 위상수학, 함수해석학 등 다양한 수학 분야에서 중요한 역할을 하며, 위상적 성질을 보존하는 사상(morphism)으로서 위상 공간 사이의 구조적 관계를 설명하는 데 핵심적이다.

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## 정의

위상수학에서, 두 위상 공간 $ (X, \tau_X) $와 $ (Y, \tau_Y) $ 사이의 함수 $ f: X \to Y $가 **연속 함수**라는 것은 다음 조건을 만족할 때를 말한다:

> 임의의 $ Y $의 열린 집합 $ V \in \tau_Y $에 대해, 그 역상 $ f^{-1}(V) $가 $ X $에서 열린 집합이다. 즉,  
> $$
> \forall V \in \tau_Y, \quad f^{-1}(V) \in \tau_X.
> $$

이 정의는 거리 공간에서의 ε-δ 정의와 일치하며, 거리 개념 없이도 위상적 구조만으로 연속성을 논할 수 있게 해준다.

### 점에서의 연속성

함수 $ f $가 **점 $ x_0 \in X $에서 연속**하다는 것은, $ f(x_0) $의 임의의 근방 $ V $에 대해, $ x_0 $의 어떤 근방 $ U $가 존재하여 $ f(U) \subseteq V $가 성립할 때를 말한다. 즉:

> $ \forall V \in \mathcal{N}(f(x_0)) $, $ \exists U \in \mathcal{N}(_0) $ such that $ f(U) \subseteq V $.

여기서 $ \mathcal{N}(x) $는 점 $ x $의 **근방계**(neighbourhood system)를 의미한다.

함수가 정의역의 모든 점에서 연속이면 전체 함수는 연속이다.

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## 예시

### 1. 실수 위상 공간에서의 연속 함수

실수 집합 $ \mathbb{R} $에 표준 위상을 부여했을 때, 해석학에서 배우는 연속 함수는 모두 위상수학적 의미의 연속 함수이다. 예를 들어:

- $ f(x) = x^2 $: 모든 점에서 연속
- $ f(x) = \sin x $: 연속
- 계단 함수(불연속): 예를 들어,  
  $$
  f(x) = \begin{cases}
  0 & x < 0 \\
  1 & x \geq 0
  \end{cases}
  $$  
  는 $ x = 0 $에서 불연속이다. 왜냐하면 $ V = (0.5, 1.5) $는 $ f(0) = 1 $의 열린 근방이지만, 그 역상 $ f^{-1}(V) = [0, \infty) $는 $ \mathbb{R} $에서 열린 집합이 아니기 때문이다.

### 2. 이산 위상과 밀착 위상

- $ X $가 **이산 위상**(모든 부분집합이 열린 집합)을 가질 경우, 임의의 함수 $ f: X \to Y $는 항상 연속이다.  
  이유: $ f^{-1}(V) $는 $ X $의 임의의 부분집합이므로 항상 열린 집합.

- $ Y $가 **밀착 위상**(오직 전체집합과 공집합만 열린 집합)을 가질 경우, 모든 함수 $ f: X \to Y $는 연속이다.  
  이유: $ Y $의 열린 집합은 $ \emptyset $과 $ Y $뿐이고, $ f^{-1}(\emptyset) = \emptyset $, $ f^{-1}(Y) = X $는 항상 열린 집합.

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## 성질

다음은 연속 함수의 중요한 성질들이다:

1. **항등 함수는 연속**: $ \text{id}_X: X \to X $, $ x \mapsto x $는 항상 연속이다.
2. **연속 함수의 합성은 연속**: $ f: X \to Y $, $ g: Y \to Z $가 연속이면, $ g \circ f: X \to Z $도 연속이다.
3. **닫힌 집합의 역상은 닫힌 집합**: $ f $가 연속이면, $ Y $의 임의의 닫힌 집합 $ C $에 대해 $ f^{-1}(C) $도 $ X $에서 닫힌다.
4. **수렴하는 점렬의 보존**: $ x_n \to x $이면 $ f(x_n) \to f(x) $ (단, 이는 제1가산공간에서만 항상 성립).
5. **콤팩트 집합의 상은 콤팩트**: 연속 함수는 콤팩트 집합을 콤팩트 집합으로 보낸다.
6. **연결 집합의 상은 연결**: 연속 함수는 연결된 공간의 상을 연결된 공간으로 보낸다.

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## 관련 개념

### 위상 동형 사상(Homeomorphism)

두 위상 공간 $ X $와 $ Y $ 사이의 함수 $ f: X \to Y $가 다음 세 조건을 만족하면 **위상 동형 사상**이라 한다:

- $ f $는 전단사(bijective)
- $ f $는 연속
- $ f^{-1} $도 연속

이 경우 $ X $와 $ Y $는 **위상 동형**(homeomorphic)이며, 같은 위상적 성질을 가진다.

### 연속 함수의 범주

위상 공간과 연속 함수는 **범주**(category)를 이룬다. 이 범주에서 사상(morphism)은 연속 함수이며, 위상적 구조를 보존하는 변환을 다룬다.

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## 응용 및 중요성

- **위상 동형 판별**: 두 공간이 위상 동형인지 판단할 때 연속성과 역함수의 연속성을 검토한다.
- **고정점 정리**: 예를 들어 브라우어 고정점 정리는 연속 함수의 성질을 기반으로 한다.
- **함수 공간 연구**: 연속 함수들의 집합 $ C(X,Y) $는 함수해석학에서 중요한 연구 대상이며, 특정 위상(예: 콤팩트-열린 위상)을 부여해 연구한다.

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## 참고 자료

- Munkres, James R. *Topology*. 2nd Edition. Prentice Hall, 2000.
- Kelley, John L. *General Topology*. Springer, 1975.
- 위키백과: [연속 함수](https://ko.wikipedia.org/wiki/연속_함수)

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## 관련 문서

- [위상 공간](위상_공간.md)
- [열린 집합](열린_집합.md)
- [위상 동형](위상_동형.md)
- [함수의 극한](함수의_극한.md)