집합 연산

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qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.09.03
조회수
4
버전
v1
수학 → 수학개념 → 연산자
집합 연산 합집합 교집합 차집합 데카르트 곱

집합 연산

집합 연산(Set Operations)은 수, 특히 집합론(Set)에서 두 개의 집합을 조합하거나 비교하여 새로운 집합을 생성하는 기본적인 방법을 의미합니다. 집합은 서로 다른 원소(element)의 모임으로 정의되며, 이소들 사이의계를 분석하고작하기 위해 다양한 연산이 사용됩니다. 집합 연산은 수학 전반뿐 아니라 컴퓨터 과학, 논리학, 통계학, 데이터베이스 이론 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 합니다.

이 문서에서는 대표적인 집합 연산인 합집합, 교집합, 차집합, 여집합, 대칭차집합, 그리고 데카르트 곱을 중심으로 설명하며, 각 연산의 정의, 기호, 성질, 그리고 예시를 포함합니다.

기본 개념

집합 연산은 일반적으로 두 개 이상의 집합을 대상으로 하며, 각 연산은 특정 규칙에 따라 원소를 선택하여 새로운 집합을 만듭니다. 예를 들어, 두 집합 A와 B가 있을 때, 이들의 공통 원소만을 포함하는 집합을 만들 수도 있고, 둘 중 하나에만 속하는 원소들로 구성된 집합을 만들 수도 있습니다.

집합 연산은 다음과 같은 기호로 표현됩니다:

  • ∪: 합집합 (Union)
  • ∩: 교집합 (Intersection)
  • − 또는 \: 차집합 (Set Difference)
  • ′ 또는 (^c): 여집합 (Complement)
  • △: 대칭차집합 (Symmetric Difference)
  • ×: 데카르트 곱 (Cartesian Product)

주요 집합 연산

합집합 (Union)

합집합은 두 집합 A와 B에 속하는 모든 원소를 포함하는 집합입니다. 즉, A에 있거나 B에 있는 원소 전부를 모아 새로운 집합을 만듭니다.

  • 기호: ( A \cup B )
  • 정의: ( A \cup B = { x \mid x \in A \text{ 또는 } x \in B } )

예시

  • ( A = {1, 2, 3} ), ( B = {3, 4, 5} )
  • ( A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5} )

성질

  • 교환법칙: ( A \cup B = B \cup A )
  • 결합법칙: ( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) )
  • 항등원: 공집합 ( \emptyset )에 대해 ( A \cup \emptyset = A )

교집합 (Intersection)

교집합은 두 집합 A와 B에 모두 속하는 원소만을 포함하는 집합입니다.

  • 기호: ( A \cap B )
  • 정의: ( A \cap B = { x \mid x \in A \text{ 그리고 } x \in B } )

예시

  • ( A = {1, 2, 3} ), ( B = {3, 4, 5} )
  • ( A \cap B = {3} )

성질

  • 교환법칙: ( A \cap B = B \cap A )
  • 결합법칙: ( (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) )
  • 영원: ( A \cap \emptyset = \emptyset )
  • 두 집합의 교집합이 공집합일 경우, 이들을 서로소(disjoint)라고 합니다.

차집합 (Set Difference)

차집합은 집합 A에 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소들의 집합입니다.

  • 기호: ( A \setminus B ) 또는 ( A - B )
  • 정의: ( A \setminus B = { x \mid x \in A \text{ 그리고 } x \notin B } )

예시

  • ( A = {1, 2, 3, 4} ), ( B = {3, 4, 5} )
  • ( A \setminus B = {1, 2} )

여집합 (Complement)

여집합은 전체집합(universal set) ( U )에 대해, 집합 A에 속하지 않는 모든 원소의 집합입니다.

  • 기호: ( A^c ), ( A' ), 또는 ( \complement_U A )
  • 정의: ( A^c = { x \in U \mid x \notin A } )

예시

  • ( U = {1, 2, 3, 4, 5} ), ( A = {1, 2} )
  • ( A^c = {3, 4, 5} )

성질 (드모르간의 법칙)

  • ( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c )
  • ( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c )

대칭차집합 (Symmetric Difference)

대칭차집합은 A 또는 B에 속하지만, 둘 다에 속하지는 않는 원소들의 집합입니다. 즉, 두 집합의 차집합을 합한 것입니다.

  • 기호: ( A \triangle B )
  • 정의: ( A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) )
  • 또는: ( A \triangle B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) )

예시

  • ( A = {1, 2, 3} ), ( B = {3, 4, 5} )
  • ( A \triangle B = {1, 2, 4, 5} )

데카르트 곱 (Cartesian Product)

데카르트 곱은 두 집합 A와 B의 원소를 순서쌍(ordered pair)으로 조합한 모든 경우의 집합입니다.

  • 기호: ( A \times B )
  • 정의: ( A \times B = { (a, b) \mid a \in A, b \in B } )

예시

  • ( A = {1, 2} ), ( B = {x, y} )
  • ( A \times B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)} )

💡 데카르트 곱은 함수, 관계, 좌표계 등에서 중요한 개념으로, 특히 이항 관계와 평면 기하학에서 활용됩니다.

관련 법칙과 정리

법칙 설명
교환법칙 ( A \cup B = B \cup A ), ( A \cap B = B \cap A )
결합법칙 ( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) )
분배법칙 ( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) )
드모르간의 법칙 위에서 설명
멱등법칙 ( A \cup A = A ), ( A \cap A = A )

참고 자료 및 관련 문서

집합 연산은 수학의 기초이자 현대 논리와 정보 처리의 핵심 도구입니다. 이 연산들을 이해함으로써 복잡한 수학적 구조나 데이터 관계를 명확하게 분석할 수 있습니다.

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