# 행렬-벡터 곱셈

행렬-벡터 곱셈은 선형대수의 핵심 연산 중 하나로, 행렬과 벡터를 결합하여 새로운 벡터를 생성하는 수학적 연산입니다. 이 연산은 선형 변환, 컴퓨터 그래픽스, 기계 학습, 물리 시뮬레이션 등 다양한 분야에서 광범위하게 활용됩니다. 본 문서에서는 행렬-벡터 곱셈의 정의, 계산 방법, 성질, 기하학적 의미 및 실제 응용 사례를 중심으로 설명합니다.

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## 개요

행렬-벡터 곱셈은 **m×n 행렬 A**와 **n차원 열벡터 x**를 입력으로 받아 **m차원 열벡터 y**를 출력하는 연산입니다. 이 연산은 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

\[
\mathbf{y} = A\mathbf{x}
\]

이 연산이 성립하려면 행렬의 열 수와 벡터의 차원이 일치해야 하며, 이는 행렬의 "너비"와 벡터의 "길이"가 맞아야 한다는 조건입니다.

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## 정의와 계산 방법

### 기본 정의

행렬 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \)와 벡터 \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \)의 곱은 다음과 같이 정의됩니다:

\[
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{bmatrix}
\]

결과 벡터 \( \mathbf{y} = A\mathbf{x} \in \mathbb{R}^m \)의 각 성분 \( y_i \)는 다음과 같습니다:

\[
y_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j \quad \text{for } i = 1, 2, \dots, m
\]

즉, 결과 벡터의 \( i \)-번째 원소는 행렬 \( A \)의 \( i \)-번째 행과 벡터 \( \mathbf{x} \)의 내적(dot product)으로 계산됩니다.

### 예시

다음과 같은 행렬과 벡터를 곱해 봅시다:

\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{bmatrix}
2 \\ -1 \\ 1
\end{bmatrix}
\]

계산 과정:

- 첫 번째 성분: \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3 \)
- 두 번째 성분: \( 4 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) + 6 \cdot 1 = 8 - 5 + 6 = 9 \)

결과:

\[
A\mathbf{x} = \begin{bmatrix}
3 \\ 9
\end{bmatrix}
\]

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## 대안적 해석

행렬-벡터 곱셈은 여러 가지 관점에서 해석할 수 있으며, 이는 직관적인 이해를 돕습니다.

### 1. 행벡터와의 내적 (Row-wise)

각 결과 성분은 행렬의 각 행과 벡터의 내적입니다. 위 예시에서 첫 번째 결과는 첫 번째 행 \([1\ 2\ 3]\)과 \(\mathbf{x}\)의 내적입니다.

### 2. 열벡터의 선형결합 (Column-wise)

행렬 \( A \)를 열벡터 \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n \)로 분해하면:

\[
A\mathbf{x} = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n
\]

이 해석은 **벡터 \(\mathbf{x}\)의 성분이 각 열벡터에 곱해진 후 더해진다**는 의미를 가지며, 선형변환의 기저벡터 관점에서 중요합니다.

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## 주요 성질

행렬-벡터 곱셈은 다음과 같은 중요한 성질을 가집니다:

| 성질 | 설명 |
|------|------|
| **선형성** | \( A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} \), \( A(c\mathbf{u}) = cA\mathbf{u} \) |
| **결합법칙** | \( (AB)\mathbf{x} = A(B\mathbf{x}) \) (단, 차원이 맞을 경우) |
| **영벡터의 결과** | \( A\mathbf{0} = \mathbf{0} \) |
| **영행렬의 결과** | \( \mathbf{0}\mathbf{x} = \mathbf{0} \) |

이러한 성질은 선형대수의 이론적 기반을 형성하며, 선형변환의 정의와 밀접하게 연결됩니다.

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## 기하학적 의미

행렬-벡터 곱셈은 **선형변환**을 나타냅니다. 예를 들어, 2×2 행렬은 2차원 평면에서 벡터를 회전, 확대/축소, 전단(shear) 등의 변환을 수행합니다.

예를 들어, 회전 행렬:

\[
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\]

는 벡터를 각도 \(\theta\)만큼 시계 반대 방향으로 회전시킵니다. 이는 \( \mathbf{y} = R(\theta)\mathbf{x} \)로 표현됩니다.

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## 응용 분야

- **컴퓨터 그래픽스**: 객체의 이동, 회전, 크기 조정에 사용
- **기계 학습**: 신경망의 각 층에서 가중치 행렬과 활성화 벡터의 곱으로 계산
- **물리학**: 힘, 속도, 가속도 벡터에 대한 변환
- **데이터 과학**: 주성분 분석(PCA), 선형 회귀 등에서 데이터 변환

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## 참고 자료

- Gilbert Strang, *Introduction to Linear Algebra*, Wellesley-Cambridge Press
- David C. Lay, *Linear Algebra and Its Applications*
- MIT OpenCourseWare: Linear Algebra (Gilbert Strang 강의)

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이 문서는 행렬-벡터 곱셈의 수학적 정의부터 실제 응용까지 체계적으로 정리하였습니다. 이 연산은 선형대수의 기초이자 현대 과학기술의 핵심 도구로서, 깊이 있는 이해가 중요합니다.