# 선형 연립방정

선형 연립방정식( System of Equations)은 여러 개의 선형 방정식이 동시에 성립해야 하는 조건을 나타내는학적 구조로, 선형대수학의 핵심 주제 중 하나입니다. 이는 과학, 공학, 경제학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분에서 현실 세계의 문제를 모델링하고 해를 구하는 데 널리 사용됩니다. 본 문서에서는 선형 연립방정식의 정의 표현 방식, 해의 존재성과 유일성, 그리고 주요법 기법을 체계적으로 다룹니다.

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## 개요선형 연립방정식은 다음과 같은 형태의 방정식 집합입니다:

\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{2}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n b_2 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}
\]

여기서 \( x_1, x_2, \dots, x_n \)은 미지수이며, \( a_{ij} \)는 계수, \( b_i \)는 상수항입니다. 모든 방정식이 미지수에 대해 **선형**(일차) 관계를 가지므로 "선형" 연립방정식이라 부릅니다.

이러한 방정식 시스템은 행렬과 벡터를 이용해 간결하게 표현할 수 있으며, 해를 구하는 과정은 행렬 연산과 밀접한 관련이 있습니다.

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## 행렬 표현

선형 연립방정식은 행렬 형태로 다음과 같이 표현됩니다:

\[
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
\]

여기서:
- \( A \)는 \( m \times n \) 크기의 **계수 행렬**(Coefficient Matrix)
- \( \mathbf{x} \)는 \( n \times 1 \) 크기의 **미지수 벡터**(Unknown Vector)
- \( \mathbf{b} \)는 \( m \times 1 \) 크기의 **상수 벡터**(Constant Vector)

예를 들어, 다음 연립방정식:

\[
\begin{aligned}
2x + 3 &= 5 \\
4x - y &= 1 \\
\end{aligned}
\]

는 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있습니다:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
4 & -1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 \\
1 \\
\end{bmatrix}
\]

이 표현 방식은 해법의 일반화와 계산 알고리즘 설계에 매우 유용합니다.

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## 해의 존재성과 유일성

선형 연립방정식 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)의 해는 다음 세 가지 경우 중 하나에 해당합니다:

1. **유일한 해가 존재함**
2. **무수히 많은 해가 존재함**
3. **해가 존재하지 않음 (불일치 시스템)**

이를 판단하기 위해선 **랭크**(Rank) 개념이 중요합니다. 행렬 \( A \)와 첨가행렬 \( [A|\mathbf{b}] \)의 랭크를 비교합니다:

- \( \text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) = n \) → 유일한 해 존재
- \( \text{rank}(A) = \text{rank}([A|\mathbf{b}]) < n \) → 무수히 많은 해 존재
- \( \text{rank}(A) < \text{rank}([A|\mathbf{b}]) \) → 해 없음

여기서 \( n \)은 미지수의 개수입니다.

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## 주요 해법 기법

### 1. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination)

가장 기본적이고 널리 사용되는 해법으로, 첨가행렬 \( [A|\mathbf{b}] \)를 **행 사다리꼴**(Row Echelon Form)로 변환하여 후진 대입(Back-substitution)으로 해를 구합니다.

**단계**:
1. 첨가행렬 구성
2. 기본 행 연산 수행 (행 교환, 스칼라 곱, 행 더하기)
3. 상삼각행렬 형태로 변환
4. 후진 대입으로 미지수 계산

### 2. 가우스-조르당 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

가우스 소거법을 확장하여 행렬을 **기약 사다리꼴**(Reduced Row Echelon Form, RREF)로 변환하는 방법입니다. 이 경우 해를 직접 읽을 수 있습니다.

### 3. 역행렬을 이용한 해법

계수행렬 \( A \)가 정방행렬이며 가역적(invertible)일 때, 해는 다음과 같이 구할 수 있습니다:

\[
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}
\]

이 방법은 계산 비용이 크므로 소규모 시스템에 적합합니다.

### 4. 크라메르의 법칙 (Cramer's Rule)

정방행렬 \( A \)가 가역적일 경우, 행렬식(determinant)을 이용해 해를 구하는 방법입니다. \( i \)번째 미지수 \( x_i \)는:

\[
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
\]

여기서 \( A_i \)는 \( A \)의 \( i \)번째 열을 \( \mathbf{b} \)로 대체한 행렬입니다. 계산량이 많아 실용성은 낮지만 이론적으로 유용합니다.

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## 동차 선형 연립방정식

상수항이 모두 0인 시스템, 즉 \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) 형태를 **동차**(Homogeneous) 선형 연립방정식이라 합니다. 항상 자명해 \( \mathbf{x} = \mathbf{0} \)를 가지며, 비자명해가 존재하려면 \( \det(A) = 0 \)이어야 합니다. 해집합은 **벡터 공간**을 이루며, 이를 **해공간**(Solution Space) 또는 **핵**(Null Space)이라 부릅니다.

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## 관련 개념 및 활용

- **벡터 공간 해석**: 해는 벡터 공간 내에서의 기하적 구조로 해석할 수 있습니다.
- **선형 독립성**: 계수행렬의 열벡터가 선형 독립일 때 유일한 해 존재 가능성 증가
- **수치 선형대수**: 대규모 시스템 해석을 위해 LU 분해, QR 분해, 반복법 등 사용

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## 참고 자료

- Strang, G. (2016). *Introduction to Linear Algebra*. Wellesley-Cambridge Press.
- Lay, D. C. (2015). *Linear Algebra and Its Applications*. Pearson.
- MIT OpenCourseWare: Linear Algebra (Gilbert Strang 강의)

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선형 연립방정식은 선형대수학의 기초이자 응용의 핵심입니다. 다양한 해법과 이론적 배경을 이해함으로써, 복잡한 시스템의 해를 체계적으로 분석하고 해결할 수 있습니다.