# 등각사상

등각사상(Conformal Mapping)은 복소해석학에서 중요한 개념 중 하나로, 두 평면 영역 사이의 복소 함수 중에서 각도를 보존하는 특성을 가진 함수를 말한다. 이는 기하학적 변환의 일종으로, 특히 유체역학, 전기공학, 열전도 문제 등 다양한 응용 분야에서 널리 사용된다. 본 문서에서는 등각사상의 정의, 성질, 예시, 그리고 주요 응용 분야에 대해 설명한다.

## 개요

등각사상은 두 곡면 또는 평면 영역 사이의 매끄러운 변환으로, 국소적으로 각도를 보존하는 성질을 가진다. 복소해석학에서는 이 개념이 특히 강력하게 다뤄지며, 해석함수의 도함수가 0이 아닌 점에서 등각성이 성립한다. 이는 복소함수의 기하학적 해석과 밀접하게 연결되어 있으며, 복소평면 위에서 영역을 변형하면서도 구조적 특성을 유지할 수 있게 해준다.

등각사상은 단순히 각도를 보존하는 것뿐만 아니라, 국소적으로 모양과 비율을 보존하는 효과를 가지므로, 복잡한 영역을 더 다루기 쉬운 영역(예: 단위 원판, 상반 평면)으로 변환하는 데 유용하다.

---

## 정의와 조건

### 등각사상의 정의

복소함수 $ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} $가 정의역 내의 점 $ z_0 $에서 **등각**(conformal)이라 함은 다음 두 조건을 만족할 때를 말한다:

1. $ f $는 $ z_0 $ 근방에서 **해석적**(analytic)이다.
2. $ f'(z_0) \neq 0 $.

이 조건 하에서, $ f $는 $ z_0 $ 근처의 두 곡선이 이루는 각도를 보존한다. 즉, 두 곡선 $ \gamma_1(t) $, $ \gamma_2(t) $가 $ z_0 $에서 각도 $ \theta $를 이루고 있다면, 그 상 $ f(\gamma_1) $, $ f(\gamma_2) $도 $ f(z_0) $에서 동일한 각도 $ \theta $를 이룬다.

> **참고**: $ f'(z_0) = 0 $인 점에서는 등각성이 깨지며, 이 점을 **임계점**(critical point)이라 한다. 이 지점에서는 각도 왜곡이 발생할 수 있다.

---

## 등각사상의 성질

등각사상은 다음과 같은 중요한 수학적 성질을 가진다:

### 1. 각도 보존성
- 두 곡선이 만나는 각도가 변환 후에도 동일하게 유지된다.
- 방향은 보존되며, 이는 **보향성**(orientation-preserving) 변환이다.

### 2. 국소적 확대/축소
- $ |f'(z)| $는 변환의 국소적 확대율을 나타낸다.
- 즉, 작은 영역은 $ |f'(z)| $배로 확대되며, 모양은 유지된다.

### 3. 해석함수와의 관계
- 복소평면에서 해석함수는 도함수가 0이 아닌 점에서 자동으로 등각사상이다.
- 예: $ f(z) = z^2 $는 $ z \neq 0 $에서 등각이지만, $ z = 0 $에서는 $ f'(0) = 0 $이므로 등각이 아니다.

### 4. 역함수의 등각성
- $ f $가 단사적이고 등각이면, 그 역함수 $ f^{-1} $도 등각사상이다.

---

## 주요 예시

### 1. 선형 변환
함수 $ f(z) = az + b $ ($ a \neq 0 $)는 모든 점에서 등각이다.  
- $ f'(z) = a $이므로 도함수가 0이 아니다.
- 이는 평행이동, 회전, 확대를 조합한 변환이다.

### 2. 지수함수
$ f(z) = e^z $는 모든 점에서 해석적이며, $ f'(z) = e^z \neq 0 $이므로 전 영역에서 등각이다.  
- 수직선은 원으로, 수평선은 반직선으로 변환된다.
- 예: $ z = x + iy $에서 $ x = c $는 원 $ |w| = e^c $로 변환.

### 3. 로그함수
$ f(z) = \log z $는 $ z \neq 0 $이고 가지 절단(branch cut)을 제외한 영역에서 등각이다.  
- 이 함수는 원을 수평선으로, 반직선을 수직선으로 변환하는 데 사용된다.

### 4. 메비우스 변환
$ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} $ ($ ad - bc \neq 0 $)는 확장된 복소평면(리만 구면)에서 등각사상이다.  
- 원과 직선을 원 또는 직선으로 보낸다.
- 예: $ f(z) = \frac{1}{z} $는 반전(inversion) 변환.

---

## 리우빌 정리와 등각사상

고차원 공간에서는 등각사상의 가능성에 제약이 많지만, 복소평면(2차원)에서는 매우 풍부한 등각사상이 존재한다. 이는 **리우빌의 정리**(Liouville's Theorem in conformal geometry)와 관련이 있다. 이 정리에 따르면, 3차원 이상에서는 등각사상이 메비우스 변환으로 제한되지만, 2차원에서는 임의의 해석함수(도함수 ≠ 0)가 등각사상을 제공한다.

---

## 응용 분야

### 1. 유체역학
- 이류(유선) 문제에서 복잡한 경계 조건을 단순한 형상(예: 원)으로 변환하여 해석.
- 예: 날개 단면(에어포일) 주위의 유동 해석에 **쥘코프스키 변환** 사용.

### 2. 전기공학
- 정전기학에서 전위 분포를 계산할 때, 복잡한 도체 배치를 단순한 형상으로 변환.
- 예: 평행판 커패시터 문제를 등각사상으로 단위 원판 문제로 변환.

### 3. 열전도 및 응력 해석
- 편미분방정식의 경계값 문제를 해결하기 위해 영역 변환.
- 라플라스 방정식의 해는 등각사상 아래에서 불변성을 가짐.

---

## 리만 사상 정리

등각사상 이론의 핵심 정리 중 하나는 **리만 사상 정리**(Riemann Mapping Theorem)이다.

> **정리**: 복소평면의 임의의 단순연결 영역 $ D $ ($ D \neq \mathbb{C} $)는 단위 원판 $ \mathbb{D} = \{ z : |z| < 1 \} $에 등각적으로 동치이다. 즉, $ D $에서 $ \mathbb{D} $로 가는 단사 등각사상이 존재한다.

이 정리는 복소해석학의 기초이며, 수많은 문제를 단위 원판으로 변환하여 해결할 수 있게 해준다.

---

## 참고 자료 및 관련 문서

- **Complex Analysis** by Lars V. Ahlfors – 등각사상과 복소해석학의 기초를 다룬 고전적 교재.
- **Visual Complex Analysis** by Tristan Needham – 기하학적 직관을 중시하는 접근법.
- **리만 사상 정리**
- **메비우스 변환**
- **조화함수**
- **라플라스 방정식**

등각사상은 순수 수학과 응용 수학의 교차점에 위치하며, 복소함수의 아름다움과 실용성을 동시에 보여주는 중요한 개념이다.