# 극형식

##요

복소수는 실수와 허수부 구성된 수 체계, $ z = a + bi $단, $ i = \sqrt{-1 $)의 형태 나타낼 수 있다. 표현을 **직교형식**(또는 대수형식)이라 한다. 그러나 복소수를 평면 상의 점이나 벡터로 해할 때, 직교형식 외에도 **극형**(polar form)이라는 또 다른 표현 방식이 유용하다. 극형식은 복소수를 **크기**(절댓값)와 **각도**(편각)를 이용해 나타내며, 특히 복소수의 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 제곱근 계에서 계산의 간편함을 제공한다.

극형식은 복소수 평면(가우스 평면) 위에서 복소수를 극좌표로 표현한 것으로, 수학, 물리학, 전기공학 등 다양한 분야에서 널리 사용된다.

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## 극형식의 정의

복소수 $ z = a + bi $를 극형식으로 표현하려면 다음 두 가지 요소를 구해야 한다:

1. **절댓값**(모듈러스):  
   $ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $  
   이는 원점에서 점 $ (a, b) $까지의 거리이다.

2. **편각**(argument):  
   $ \theta = \arg(z) $, 일반적으로 $ \tan\theta = \frac{b}{a} $를 만족하는 각도로 정의된다.  
   편각은 주기성을 가지며, 일반적으로 **주요값**(principal value)을 $ -\pi < \theta \leq \pi $ 또는 $ 0 \leq \theta < 2\pi $ 범위에서 선택한다.

이 두 값을 이용하여, 복소수 $ z $는 다음과 같이 극형식으로 표현된다:

$$
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
$$

또는 **오일러의 공식**(Euler's formula) $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $를 이용하면 간결하게:

$$
z = re^{i\theta}
$$

이 표현이 바로 복소수의 **극형식**이다.

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## 직교형식과 극형식의 변환

### 직교형식 → 극형식

주어진 복소수 $ z = a + bi $에 대해:

- $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $
- $ \theta = \atan2(b, a) $ (일반적인 아크탄젠트 함수보다 정확한 사분면 판별을 위해 `atan2` 사용)

예를 들어, $ z = 1 + i $의 경우:

- $ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
- $ \theta = \tan^{-1}(1/1) = \frac{\pi}{4} $

따라서 극형식은 $ z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4 + i\sin\frac{\pi}{4} \right) $ 또는 $ \sqrt{2}e^{i\pi/4} $.

### 극형식 → 직교형식

$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $일 때,

- $ a = r\cos\theta $
- $ b = r\sin\theta $

예: $ z = 2e^{i\pi/3} $ → $ a = 2\cos(\pi/3) = 1 $, $ b = 2\sin(\pi/3) = \sqrt{3} $  
따라서 $ z = 1 + i\sqrt{3} $.

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## 극형식의 연산

극형식은 복소수의 연산을 매우 간단하게 만든다.

### 곱셈

두 복소수 $ z_1 = r_1 e^{i\theta_1} $, $ z_2 = r_2 e^{i\theta_2} $의 곱은:

$$
z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}
$$

즉, 크기는 곱하고, 각도는 더한다.

### 나눗셈

$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} \quad (z_2 \ne 0)
$$

크기는 나누고, 각도는 뺀다.

### 거듭제곱 (드 무아브르의 정리)

$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $일 때, $ n $이 정수이면:

$$
z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \right)
$$

이를 **드 무아브르의 정리**(De Moivre's Theorem)라고 한다.

### 제곱근 및 거듭제곱근

복소수의 $ n $제곱근은 $ n $개 존재하며, 극형식을 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다:

$$
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right), \quad k = 0, 1, \dots, n-1
$$

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## 응용 분야

- **전기공학**: 교류 회로(AC circuit)에서 임피던스, 전압, 전류를 복소수로 표현할 때 극형식이 위상과 크기를 직관적으로 나타낸다.
- **신호 처리**: 푸리에 변환, 펄스 신호의 위상 분석 등에서 사용.
- **물리학**: 파동, 진동, 양자역학의 상태 벡터 표현에 활용.
- **기하학**: 복소수 평면에서의 회전 변환은 극형식의 각도 덧셈으로 간단히 표현된다. 예: $ z $를 $ \theta $만큼 회전시키면 $ z \cdot e^{i\theta} $.

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## 관련 개념

- **오일러의 공식**: $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ — 극형식의 기초.
- **단위 원**: $ |z| = 1 $인 복소수는 $ e^{i\theta} $ 꼴로 표현되며, 복소평면에서 원주 위를 돈다.
- **복소수 평면**(가우스 평면): 실수축과 허수축으로 구성된 2차원 평면.

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## 참고 자료

- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2009). *Complex Variables and Applications*. McGraw-Hill.
- Kreyszig, E. (2011). *Advanced Engineering Mathematics*. Wiley.

> 위키백과: [복소수](https://ko.wikipedia.org/wiki/복소수), [극좌표계](https://ko.wikipedia.org/wiki/극좌표계)