확률적 모델링

작성자

익명

작성일

2025.09.28

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확률적 모델링 베이지안 추론 확률 분포 마르코프 모델 불확실성 정량화

확률적 모델링

개요

확률 모델링(Probabilistic)은 불확실성과 랜성을 내재한 현상이나 시스템을 수학적으로 표현하고 분석하기 위한 통계학 및 확률론의 핵심 기법이다. 현실 세계의 많은 현상은 결정론적으로 예측하기 어려우며, 관측 오차, 자연스러운 변동성, 또는 정보의 부족 등으로 인해 확률적인 접근이 필요하다. 확률적 모델링은 이러한 불확실성을 수량화하고, 데이터 기반의 추론, 예측, 의사결정을 가능하게 한다.

이러한 모델은 과학, 공학, 금융, 의학, 인공지능 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용되며, 특히 머신러닝과 베이지안 추론에서 중심적인 역할을 한다. 확률적 모델링은 단순한 예측을 넘어, 불확실성의 정도(uncertainty quantification)를 함께 제공함으로써 더 신뢰할 수 있는 분석을 가능하게 한다.

확률적 모델의 기본 개념

확률 변수와 분포

확률적 모델링의 기초는 확률 변수(Random Variable)와 그에 대응하는 확률 분포(Probability Distribution)이다. 확률 변수는 실험이나 관측의 결과에 따라 값이 달라지는 변수로, 이산형(예: 주사위 눈금)과 연속형(예: 사람의 키)으로 나뉜다.

확률 질량 함수(PMF): 이산 확률 변수의 각 값이 나타날 확률을 정의한다.
확률 밀도 함수(PDF): 연속 확률 변수의 상대적 빈도를 나타낸다.
누적 분포 함수(CDF): 확률 변수가 특정 값 이하일 확률을 나타낸다.

예를 들어, 동전 던지기 실험에서 앞면이 나올 확률은 0.5이며, 이는 이항분포(Binomial Distribution)의 기본 사례이다.

조건부 확률과 베이즈 정리

현실 세계의 많은 문제는 조건부 관계를 포함한다. 예를 들어, "질병에 걸렸을 때 검사 결과가 양성일 확률"은 조건부 확률로 표현된다.

조건부 확률: ( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} )
베이즈 정리: ( P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} )

베이즈 정리는 사전 지식(사전 확률)과 새로운 데이터(우도)를 결합하여 사후 확률을 추정하는 데 사용되며, 베이지안 확률적 모델링의 핵심이다.

주요 확률적 모델 유형

1. 베이지안 네트워크 (Bayesian Networks)

베이지안 네트워크는 변수들 간의 조건부 독립성을 방향성 그래프로 표현한 확률적 모델이다. 각 노드는 확률 변수를, 화살표는 인과 관계 또는 의존성을 나타낸다.

graph LR
    A[비 옴] --> B[길이 젖음]
    B --> C[미끄러짐]

이 구조를 통해 복잡한 다변량 확률 분포를 효율적으로 표현하고, 주어진 증거 하에서 특정 사건의 확률을 계산할 수 있다.

2. 마르코프 모델 (Markov Models)

마르코프 모델은 현재 상태가 과거 상태에 독립적이며, 오직 직전 상태에만 의존한다는 마르코프 성질을 가정한다. 대표적인 예로는 은닉 마르코프 모델(HMM)이 있으며, 음성 인식, 생물정보학 등에서 활용된다.

상태 전이 확률: ( P(X_{t+1} | X_t) )
관측 확률: ( P(Y_t | X_t) )

3. 가우시안 프로세스 (Gaussian Processes)

가우시안 프로세스는 함수 공간에서의 확률 분포를 정의하는 비모수적 모델로, 회귀 및 최적화 문제에서 불확실성을 함께 예측하는 데 유용하다. 특히, 베이지안 최적화(Bayesian Optimization)에서 하이퍼파라미터 튜닝에 널리 사용된다.