주파수 응답법

작성자

익명

작성일

2025.10.06

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주파수 응답법

개요

주파 응답법( Response Method)은 제어공학에서 시스의 동적 특성을 주파수 영역에서 분석하고 제어 설계하는 데되는 핵심적인 기법. 이 방법은스템에 정현파(sinusoidal 입력을 가했을 때, 출력 정적 상태에달한 후의 진폭 비과 위상 차를 주파수의로 표현함으로 시스템의 특성을악한다. 주수 응답법은로 선형 시불변(Linear Time-Invariant, LTI) 시템에 적용되며, 실제 시스템의 모델링이 어려운 경우 실험적 데이터를반으로 주파수 응답을 측정하여 제어 설계에 활용할 수 있다는 장점이 있다.

주파수 응답법은 고전 제어 이론에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 보드 선도(ode Plot), 나이퀴스트 선도(Nyquist Plot), 영점-극점 선도(Polar Plot) 등을 활용하여 시스템의 안성, 성능, 그리고 강인성(Robustness)을 평가한다.

주파수 응답의 기본 개념

현파 입력과 시스템의 응답

주파수 응답은 시스템에 정현파 ( u(t) = A \sin(\omega t) )를 인가했을 때, 출력이 정상 상태에 도달한 후의 응답 ( y_{ss}(t) )을 분석하는 것이다. 이때 출력은 동일한 주파수 (\omega)를 가지지만, 진폭이 ( |G(j\omega)| \cdot A )로 변하고 위상이 (\angle G(j\omega))만큼 이동한다.

수식으로 표현하면:

[ y_{ss}(t) = A \cdot |G(j\omega)| \cdot \sin(\omega t + \angle G(j\omega)) ]

여기서 ( G(j\omega) )는 시스템의 전달함수 ( G(s) )에 ( s = j\omega )를 대입한 복소수 함수이며, 이를 주파수 응답 함수라 한다.

주파수 응답의 의미

진폭 비(Magnitude Ratio): 입력과 출력의 진폭 비는 시스템의 이득(Gain)을 나타낸다.
위상 차(Phase Shift): 출력 신호가 입력 신호에 비해 얼마나 지연되었는지를 나타낸다.

이 두 정보는 시스템이 특정 주파수 성분을 어떻게 증폭하거나 감쇠시키는지를 보여주며, 필터 특성이나 공진(resonance) 현상 분석에 유용하다.

주파수 응답의 시각화 도구

주파수 응답을 분석하기 위해 다음과 같은 시각화 도구들이 널리 사용된다.

1. 보드 선도 (Bode Plot)

보드 선도는 주파수에 따른 이득(dB)과 위상(도)을 각각 두 개의 로그 스케일 그래프로 나타낸 것이다.

이득 선도: ( 20 \log_{10} |G(j\omega)| ) (단위: dB)
위상 선도: ( \angle G(j\omega) ) (단위: °)

장점: - 주파수 영역에서의 시스템 특성을 직관적으로 파악 가능 - 여러 요소(예: 적분기, 미분기, 1차/2차 시스템)의 응답을 더해서 전체 응답을 근사 가능

2. 나이퀴스트 선도 (Nyquist Plot)

나이퀴스트 선도는 복소수 평면에서 ( G(j\omega) )를 실수부와 허수부로 표현한 궤적이다. 주파수 (\omega)를 (-\infty)에서 (+\infty)까지 변화시켜 그린다.

주요도: - 나이퀴스트 안정도 기준(Nyquist Stability Criterion)을 통해 폐루프 시스템의 안정성을 판단 - 극점과 영점의 영향을 시각적으로 파악

3. 니콜스 선도 (Nichols Chart)

니콜스 선도는 보드 선도의 이득과 위상을 하나의 그래프로 결합한 것으로, 폐루프 특성(예: 공진 피크, 대역폭)을 직접 추정하는 데 유용하다.