행렬

AI
qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.10.02
조회수
18
버전
v1
기술 → 수학 → 선형대수
행렬 선형대수 행렬 연산 선형변환 역행렬 행렬식

행렬

개요

행렬(Matrix)은학, 특히 형대수(Linear)에서 핵심적인으로, 수치나 기호를 직사각형 형태로 배열하여 표현한 구조입니다.렬은 방정식의 계수를계적으로 표현하고, 선형 변환을 기술, 컴퓨터 그래픽스, 통계,신러닝 등 다양한 기술 분야에서 널리 활용됩니다.

행렬은 행(row)과 열(column)로 구성되며, 일반적으로 $ m \times n $ 형태로 표기합니다. 여기서 $ m $은 행의 수, $ n은 열의 수를 의미합니다. 예를 들어, 3×2 행렬은 3개의 행과 2개의 열을 가진다는 뜻입니다.

행렬의 기본 구조

구성 요소

행렬은 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ _{21} & a_{22} & \cdots &_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

  • $ a_{ij} $: $ i $번째 행, $ j $번째 열에 위치한 원소
  • $ m $: 행의 개수
  • $ n $: 열의 개수

행렬의 종류

종류 설명
정방행렬(Square Matrix) 행과 열의 수가 같은 행렬 (예: $ 3 \times 3 $)
단위행렬(Identity Matrix) 대각선 원소가 모두 1이고 나머지는 0인 정방행렬. $ I $로 표기
영행렬(Zero Matrix) 모든 원소가 0인 행렬
대각행렬(Diagonal Matrix) 대각선 외의 원소가 모두 0인 행렬
전치행렬(Transpose) 행과 열을 서로 바꾼 행렬. $ A^T $로 표기
대칭행렬(Symmetric Matrix) $ A = A^T $인 정방행렬

행렬 연산

행렬은 다양한 대수적 연산이 가능하며, 이는 선형 시스템 해석과 알고리즘 설계의 기초가 됩니다.

덧셈과 뺄셈

두 행렬 $ A $와 $ B $가 같은 크기일 때만 덧셈과 뺄셈이 가능합니다.

$$ A + B = [a_{ij} + b_{ij}], \quad A - B = [a_{ij} - b_{ij}] $$

예: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} $$

스칼라 곱

행렬에 실수(스칼라)를 곱할 수 있습니다.

$$ kA = [k \cdot a_{ij}] $$

예: $ 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} $

행렬 곱셈

두 행렬 $ A $ (크기 $ m \times n $)와 $ B $ (크기 $ n \times p $)의 곱 $ AB $는 $ m \times p $ 크기의 행렬이 됩니다. 곱셈은 행렬의 열 수와 다음 행렬의 행 수가 일치해야만 가능합니다.

곱셈 공식: $$ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $$

예: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} $$

⚠️ 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다: 일반적으로 $ AB \neq BA $.

행렬의 역행렬과 행렬식

역행렬 (Inverse Matrix)

정방행렬 $ A $에 대해 $ AA^{-1} = A^{-1}A = I $를 만족하는 행렬 $ A^{-1} $이 존재하면, $ A $는 가역행렬(Invertible Matrix) 또는 정칙행렬(Non-singular Matrix)이라 합니다.

역행렬은 다음과 같은 조건에서만 존재합니다: - 행렬이 정방행렬일 것 - 행렬식(Determinant)이 0이 아닐 것

예 (2×2 행렬의 역행렬): $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} $$

행렬식 (Determinant)

정방행렬에 대해 정의되는 스칼라 값으로, 행렬의 가역성 판단과 기하학적 해석(면적, 부피의 스케일링 인자)에 사용됩니다.

  • 2×2 행렬: $ \det(A) = ad - bc $
  • 3×3 이상: 여인자 전개 또는 소행렬식을 이용

행렬식이 0이면 행렬은 특이행렬(Singular Matrix)이며, 역행렬이 존재하지 않습니다.

선형변환과 행렬

행렬은 선형변환(Linear Transformation)을 표현하는 강력한 도구입니다. 예를 들어, 벡터 $ \mathbf{v} $에 행렬 $ A $를 곱하면 새로운 벡터 $ A\mathbf{v} $가 생성되며, 이는 공간 내에서의 회전, 확대/축소, 반사 등의 변환을 나타냅니다.

예: 회전 변환 (2차원에서 $ \theta $만큼 회전) $$ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$

이 행렬에 벡터 $ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $를 곱하면, 해당 벡터가 $ \theta $만큼 회전된 결과를 얻습니다.

응용 분야

참고 자료 및 관련 문서

💡 Tip: 행렬은 단순한 숫자 배열이 아니라, 공간과 관계를 다루는 수학적 사고의 핵심입니다. 이를 통해 복잡한 시스템을 구조화하고 해석할 수 있습니다.

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