크랭크-니콜슨

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작성자
익명
작성일
2025.10.08
조회수
10
버전
v1
기술 → 수치해석 → 편미분방정식 해법
크랭크-니콜슨 방법 유한차분법 편미분방정식 해법 수치해석 무조건 안정성 2차 정확도 TDMA 열전달 방정식 블랙-숄즈 방정식

크랭크-니콜슨 방법

크랭크-니슨(Crank-Nicolson)은 시간에 의하는 편미분방식(PDE), 특히산 방정식usion equation)과 열전달 방정식(heat equation 등을 수치적으로석하는 데 널리 사용되는 유한차분법(Finite Difference Method, FDM 중 하나이다. 방법은 암시적 방법(implicit method)과 명시적 방법(explicit method)의 중간 형태로, 시간 단계에서 중간점을 기준으로 차분 근사를 수행함으로써 수치적 안정성과 확도를 동시에 확보한다.

크랭크-니콜슨은 1947년 존 크랭크(John Crank)와 필리스 니콜슨(Phyllis Nicolson)이 제안한 이후, 물리학, 공, 금융수학 등 다양한 분야에서 중요한 수치해석 기법으로 자리 잡았다.

개요

크랭크-니콜슨 방법은 2차 정확도(second-order accurate)를 가지며, 시간 방향으로는 $O(\Delta t^2)$, 공간 방향으로도 $O(\Delta x^2)$의 오차를 가진다. 이는 전통적인 명시적 오일러 방법($O(\Delta t)$)이나 암시적 오일러 방법보다 더 높은 정확도를 제공한다.

또한, 이 방법은 무조건 안정(unconditionally stable)한 특성을 가지므로, 시간 간격 $\Delta t$의 크기에 제한이 없어 계산의 유연성을 높인다. 다만, 이 안정성은 해의 진동이나 수치적 산란이 전혀 발생하지 않는다는 의미는 아니며, 특히 불연속적인 초기 조건이나 급격한 변화가 있는 경우 조심스럽게 메쉬를 설계해야 한다.

기본 원리

크랭크-니콜슨 방법은 다음과 같은 형태의 1차원 열전달 방정식을 해석하는 데 자주 사용된다:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

여기서: - $u(x,t)$: 위치 $x$와 시간 $t$에서의 온도(또는 농도 등) - $\alpha$: 확산 계수(diffusivity)

이 방정식을 유한차분으로 근사할 때, 크랭크-니콜슨 방법은 시간 도함수를 $t + \frac{\Delta t}{2}$에서 중심차분, 공간 도함수를 $t$와 $t+\Delta t$의 평균값으로 근사한다. 즉, 다음과 같이 표현된다:

$$ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \frac{\alpha}{2(\Delta x)^2} \left[ (u_{i+1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i-1}^{n+1}) + (u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n) \right] $$

여기서: - $u_i^n$: 위치 $i$, 시간 단계 $n$에서의 해 - $\Delta t$: 시간 간격 - $\Delta x$: 공간 간격

이 식은 선형 방정식 시스템(linear system of equations)으로 정리되며, 트리디아고날 행렬(tridiagonal matrix) 형태를 가지므로 트리디아고날 행렬 알고리즘(TDMA, 또는 Thomas 알고리즘)을 사용해 효율적으로 해를 구할 수 있다.

알고리즘 구조

크랭크-니콜슨 방법의 알고리즘은 다음과 같은 단계로 진행된다:

  1. 격자 설정: 공간 영역 $[a, b]$를 $N$개의 점으로 나누고, 시간 영역 $[0, T]$를 $M$개의 단계로 나눈다.
  2. 초기 조건 및 경계 조건 적용: $u(x,0) = f(x)$, $u(a,t) = g_1(t)$, $u(b,t) = g_2(t)$ 등을 정의.
  3. 차분 방정식 구성: 위의 크랭크-니콜슨 차분식을 행렬 형태로 재구성.
  4. 선형 시스템 풀이: 각 시간 단계마다 삼중대각행렬을 구성하고, TDMA로 해를 계산.
  5. 반복 계산: 최종 시간까지 반복.

장점과 단점

장점 설명
2차 정확도 시간과 공간 모두에서 $O(\Delta t^2 + \Delta x^2)$ 오차를 가지므로, 보다 정밀한 해를 제공
무조건 안정성 $\Delta t$와 $\Delta x$의 비율에 관계없이 수치적 안정성을 유지
보편적 적용성 선형 및 일부 비선형 확산 방정식에도 확장 가능
단점 설명
계산 복잡도 매 시간 단계마다 선형 시스템을 풀어야 하므로 명시적 방법보다 계산 비용이 큼
메모리 사용량 전체 그리드에 대한 행렬을 저장하고 처리해야 함
비선형 문제에서의 제약 비선형 항이 포함되면 반복법(예: 뉴턴-랍슨)이 필요해져 계산 부담 증가

응용 분야

크랭크-니콜슨 방법은 다음과 같은 분야에서 널리 활용된다:

특히, 금융수학에서 블랙-숄즈 방정식의 수치해로 사용될 때는 크랭크-니콜슨 스킴이 표준적인 방법 중 하나로 인정받고 있다.

관련 기법 및 비교

방법 안정성 정확도 계산 방식
명시적 오일러 조건부 안정 $O(\Delta t)$ 각 점에서 직접 계산
암시적 오일러 무조건 안정 $O(\Delta t)$ 선형 시스템 풀이 필요
크랭크-니콜슨 무조건 안정 $O(\Delta t^2)$ 선형 시스템 풀이 필요

크랭크-니콜슨은 명시적 방법의 계산 용이성과 암시적 방법의 안정성을 결합한 최적의 균형을 제공한다.

참고 자료 및 관련 문서

  • Crank, J., & Nicolson, P. (1947). "A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.
  • LeVeque, R. J. (2007). Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. SIAM.
  • Trefethen, L. N. (2000). Spectral Methods in MATLAB. SIAM.

관련 문서: - 유한차분법 - 열전달 방정식 - 트리디아고날 행렬 알고리즘

크랭크-니콜슨 방법은 수치해석의 핵심 기법 중 하나로, 정확도와 안정성의 균형을 잘 유지하여 과학 및 공학 시뮬레이션에서 필수적인 도구로 자리 잡고 있다.

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