특이값 분해

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qwen-3-235b-a22b-instruct-2507
작성자
익명
작성일
2025.10.06
조회수
14
버전
v1
기술 → 수치계산 → 선형 대수
특이값 분해 SVD 선형 대수 차원 축소 고유값 분해

특이값 분해특이값 분해(S Value Decomposition, SVD)는 선형 대수학에서 행렬 특정한 형태로 분해하는 중요한 기법 중 하나이다. 임의의 실수 또는 복소수 행렬에 대해 적용할 수 있으며, 데이터 분석, 신호 처리, 기계 학습, 이미지 압축 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다. SVD는 행렬의 구조를 명확히 드러내고, 차원 축소 및 노이즈 제거에 효과적인 도구로 널리 사용된다.

개요

특이값 분해는 임의의 ( m \times n ) 크기의 행렬 ( A )를 다음과 같은 세 개의 행렬의 곱으로 표현하는 것이다:

[ A = U \Sigma V^* ]

여기서: - ( U )는 ( m \times m ) 크기의 유니터리 행렬(실수일 경우 직교 행렬)로, ( A A^ )의 고유벡터를 열로 가지며 좌특이벡터(left singular vectors)라고 한다. - ( \Sigma )는 ( m \times n ) 크기의 대각행렬로, 대각선 상에 있는 비음수 실수 값들이 특이값(singular values)이며, 일반적으로 내림차순으로 정렬된다. - ( V^ )는 ( n \times n ) 크기의 유니터리 행렬 ( V )의 켤레전치(conjugate transpose)이며, ( A^ A )의 고유벡터를 열로 가지며 우특이벡터*(right singular vectors)라고 한다.

이 분해는 모든 행렬에 대해 존재하며, 고유값 분해(Eigenvalue Decomposition)와 달리 정방행렬일 필요가 없다는 점에서 더 일반적이다.

수학적 원리

특이값의 정의

행렬 ( A )의 특이값 ( \sigma_i )는 ( A^ A ) 또는 ( A A^ )의 고유값의 제곱근으로 정의된다. 즉,

[ \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} ]

여기서 ( \lambda_i )는 ( A^* A )의 고유값이다. 특이값은 항상 0 이상의 실수이며, 행렬의 크기와 랭크(rank)에 따라 유한 개 존재한다.

분해의 구성 요소

  • 좌특이벡터 ( U ): ( A A^* )의 고유벡터들로 구성되며, 입력 공간에서의 변환 방향을 나타낸다.
  • 우특이벡터 ( V ): ( A^* A )의 고유벡터들로 구성되며, 출력 공간에서의 변환 방향을 나타낸다.
  • 특이값 ( \Sigma ): 각 특이값은 해당 방향에서의 변환 강도를 나타내며, 행렬의 에너지 또는 정보량과 관련이 있다.

응용 분야

1. 차원 축소와 PCA

특이값 분해는 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)과 밀접한 관련이 있다. 데이터 행렬 ( X )를 SVD로 분해하면, 큰 특이값에 대응하는 특이벡터들이 데이터의 주요 변동 방향을 나타내므로, 이를 활용해 차원을 축소할 수 있다. 이를 저차원 근사(low-rank approximation)라고 하며, 다음 식으로 표현할 수 있다:

[ A_k = U_k \Sigma_k V_k^* ]

여기서 ( k )는 보존할 특이값의 개수이며, ( A_k )는 ( A )의 랭크-k 근사이다. 이 방법은 노이즈를 줄이고 계산 효율성을 높이는 데 유용하다.

2. 이미지 압축

이미지를 행렬로 표현하고 SVD를 적용하면, 작은 특이값을 제거함으로써 이미지를 압축할 수 있다. 예를 들어, ( 512 \times 512 ) 크기의 흑백 이미지를 랭크-50 근사로 표현하면 원본보다 훨씬 적은 정보로 유사한 이미지를 재구성할 수 있다.

3. 추천 시스템

협업 필터링 기반 추천 시스템에서 사용자의 평점 행렬을 SVD로 분해하여 잠재 요인(latent factors)을 추출한다. 이는 행렬 분해(Matrix Factorization) 기법의 핵심이며, Netflix Prize 등에서 널리 사용되었다.

4. 의사 난수 해석과 조건수

SVD를 통해 행렬의 조건수(condition number)를 계산할 수 있다. 조건수는 최대 특이값과 최소 특이값의 비율로 정의되며, 수치적 안정성과 선형 시스템의 해의 민감도를 평가하는 데 사용된다.

알고리즘 및 계산

SVD는 수치적 안정성이 높은 알고리즘으로 구현되며, 대표적으로 다음과 같은 방법들이 있다: - Golub-Kahan-Reinsch 알고리즘: 고전적인 QR 알고리즘 기반 - 분할 정복(Divide-and-conquer) 알고리즘: 대규모 행렬에 효율적 - 랜덤화된 SVD(Randomized SVD): 대용량 데이터에 적합하며 계산 속도가 빠름

현대의 수치 계산 라이브러리들(예: LAPACK, NumPy, MATLAB)은 고도로 최적화된 SVD 함수를 제공한다.

예시 (Python, NumPy 사용):

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
U, sigma, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)

print("U:\n", U)
print("Sigma:", sigma)
print("V^T:\n", Vt)

관련 개념

개념 설명
고유값 분해 정방 대칭 행렬에만 적용 가능하며, SVD의 특수한 경우로 볼 수 있음
QR 분해 직교행렬과 상삼각행렬로 분해, SVD보다 계산이 빠름
고유값 정방행렬에 대해 정의되며, SVD의 특이값과 다름 (복소수 가능)

참고 자료

  • Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press.
  • Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
  • Wikipedia: Singular Value Decomposition
  • NumPy 문서: numpy.linalg.svd

SVD는 선형 대수의 핵심 개념 중 하나로, 이론적 깊이와 실용적 가치를 동시에 지닌 기법이다. 다양한 과학 및 공학 분야에서 필수적인 도구로 자리 잡고 있으며, 데이터 중심 기술이 발전함에 따라 그 중요성은 더욱 커지고 있다.

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