K-means

작성자

익명

작성일

2025.09.03

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-means는 대적인 비지도 학습(Unsupervised Learning) 알고리즘 중 하나로, 주어진 데이터를 K개의 클러스터(군집)로 나누는 데 사용됩니다. 클러스터링은 데이터의 유사성을 기반으로 그룹을 형성하여 데이터의 구조를 이해하고 패턴을 발견하는 데 중요한 역할을 합니다. 특히 K-means는 간단하면서도 효율적인 알고리즘으로, 다양한 분야에서 널리 활용되고 있습니다.

개요

K-means는 데이터 포인트들 사이의 거리 기반으로 유사한 특성을 가진 데이터를 그룹화하는 알고리즘입니다. 주어진 데이터셋에서 사용자가 지정한 K라는 숫자만큼의 중심점(Centroid)을 설정하고, 각 데이터 포인트를 가장 가까운 중심점에 할당함으로써 군집을 형성합니다. 이후 중심점을 업데이트하고 이 과정을 반복하여 최적의 클러스터를 도출합니다.

이 알고리즘은 정수 K를 사전에 지정해야 한다는 전제가 있으며, 결과는 초기 중심점의 위치에 따라 달라질 수 있습니다. 따라서 일반적으로 여러 번 반복 실행하거나 초기화 방법(예: K-means++)을 사용하여 안정적인 결과를 도출합니다.

알고리즘 원리

K-means는 다음과 같은 반복적인 절차를 통해 클러스터를 형성합니다.

1. 초기화

사용자가 결정한 클러스터 수 K를 설정합니다.
초기 중심점(K 개의 중심)을 무작위로 선택하거나, K-means++와 같은 전략적 방법을 사용하여 설정합니다.

2. 할당 단계 (Assignment Step)

각 데이터 포인트를 가장 가까운 중심점에 할당합니다.
거리 측정은 일반적으로 유클리드 거리(Euclidean Distance)를 사용합니다.

예: 데이터 포인트 ( x_i )와 중심점 ( c_j ) 사이의 거리
[ d(x_i, c_j) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} (x_{i,k} - c_{j,k})^2} ]

3. 업데이트 단계 (Update Step)

각 클러스터에 속한 데이터 포인트들의 평균 값을 새로운 중심점으로 설정합니다.
[ c_j = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} x_i ] 여기서 ( C_j )는 j번째 클러스터에 속한 데이터 포인트 집합입니다.

4. 수렴 확인

중심점이 더 이상 크게 이동하지 않거나, 할당이 안정화될 때까지 2~3 단계를 반복합니다.
일반적으로 SSE(Sum of Squared Errors)가 수렴하면 알고리즘이 종료됩니다.

장점과 단점

✅ 장점

단순하고 이해하기 쉬움: 알고리즘이 직관적이며 구현이 간단합니다.
계산 효율성: 데이터 크기가 클 경우에도 비교적 빠르게 동작합니다.
광범위한 적용성: 이미지 압축, 고객 세분화, 문서 클러스터링 등 다양한 분야에 활용 가능.

❌ 단점

K 값 사전 결정 필요: 최적의 K 값을 정하기 어려울 수 있습니다.
초기 중심점에 민감함: 초기값에 따라 지역 최적해에 수렴할 수 있습니다.
구형 클러스터 가정: K-means는 구형이고 크기가 비슷한 클러스터를 가정하므로, 비선형 또는 복잡한 형태의 클러스터에는 부적합합니다.
이상치에 민감함: 중심점이 평균을 기반으로 하기 때문에 이상치의 영향을 크게 받을 수 있습니다.

K 값 선택 방법

K-means에서 가장 중요한 결정 중 하나는 클러스터 수 K를 어떻게 정할 것인지입니다. 대표적인 방법은 다음과 같습니다.

엘보우 방법 (Elbow Method)

다양한 K 값에 대해 SSE(Sum of Squared Errors)를 계산하고, K에 따른 SSE 감소율을 그래프로 그립니다.
감소율이 뚝 떨어지는 "팔꿈치" 지점이 최적의 K로 간주됩니다.

실루엣 분석 (Silhouette Analysis)

각 데이터 포인트가 자신의 클러스터에 얼마나 잘 속해 있는지를 평가합니다.
실루엣 계수는 [-1, 1] 범위를 가지며, 1에 가까울수록 클러스터링이 잘 되었다는 의미입니다.

실루엣 계수 공식

[ s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max(a(i), b(i))} ] - ( a(i) ): 같은 클러스터 내 다른 포인트와의 평균 거리 - ( b(i) ): 가장 가까운 다른 클러스터 내 포인트와의 평균 거리

활용 사례

고객 세분화: 마케팅에서 고객을 유사한 구매 패턴에 따라 그룹화
이미지 압축: 픽셀 값을 K개의 색상으로 군집화하여 저장 용량 감소
문서 클러스터링: 유사한 주제의 문서를 그룹화하여 정보 조직
생물정보학: 유전자 발현 데이터를 기반으로 유사한 발현 패턴을 가진 유전자 군집화

참고 자료 및 관련 문서

Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
Scikit-learn 공식 문서: https://scikit-learn.org/stable/modules/clustering.html#k-means
Jupyter Notebook 예제: K-means를 활용한 고객 세분화 실습

from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np

# 간단한 K-means 예제
X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0], [4, 2], [4, 4], [4, 0]])
kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(X)
print(kmeans.labels_)  # 각 포인트의 클러스터 레이블
print(kmeans.cluster_centers_)  # 중심점 좌표

K-means는 데이터 과학의 기초이자 핵심 도구 중 하나로, 복잡한 데이터 구조를 탐색하는 데 매우 유용합니다. 다만, 제한 사항을 이해하고 적절한 전처리 및 평가 방법을 함께 사용하는 것이 성공적인 클러스터링을 위한 핵심입니다.

📝 마크다운 원본

이 문서의 마크다운 원본 내용입니다.

K-means

-means는 대적인 **비지도 학습**(Unsupervised Learning) 알고리즘 중 하나로, 주어진 데이터를 **K개의 클러스터**(군집)로 나누는 데 사용됩니다. 클러스터링은 데이터의 유사성을 기반으로 그룹을 형성하여 데이터의 구조를 이해하고 패턴을 발견하는 데 중요한 역할을 합니다. 특히 K-means는 간단하면서도 효율적인 알고리즘으로, 다양한 분야에서 널리 활용되고 있습니다.

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## 개요

K-means는 데이터 포인트들 사이의 거리 기반으로 유사한 특성을 가진 데이터를 그룹화하는 알고리즘입니다. 주어진 데이터셋에서 사용자가 지정한 **K**라는 숫자만큼의 중심점**(Centroid)**을 설정하고, 각 데이터 포인트를 가장 가까운 중심점에 할당함으로써 군집을 형성합니다. 이후 중심점을 업데이트하고 이 과정을 반복하여 최적의 클러스터를 도출합니다.

이 알고리즘은 **정수 K를 사전에 지정해야 한다는 전제**가 있으며, 결과는 초기 중심점의 위치에 따라 달라질 수 있습니다. 따라서 일반적으로 여러 번 반복 실행하거나 초기화 방법**(예: K-means++)**을 사용하여 안정적인 결과를 도출합니다.

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## 알고리즘 원리

K-means는 다음과 같은 반복적인 절차를 통해 클러스터를 형성합니다.

### 1. 초기화
- 사용자가 결정한 클러스터 수 **K**를 설정합니다.
- 초기 중심점(K 개의 중심)을 무작위로 선택하거나, K-means++와 같은 전략적 방법을 사용하여 설정합니다.

### 2. 할당 단계 (Assignment Step)
- 각 데이터 포인트를 가장 가까운 중심점에 할당합니다.
- 거리 측정은 일반적으로 **유클리드 거리**(Euclidean Distance)를 사용합니다.

예: 데이터 포인트 \( x_i \)와 중심점 \( c_j \) 사이의 거리  
\[
d(x_i, c_j) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} (x_{i,k} - c_{j,k})^2}
\]

### 3. 업데이트 단계 (Update Step)
- 각 클러스터에 속한 데이터 포인트들의 평균 값을 새로운 중심점으로 설정합니다.  
\[
c_j = \frac{1}{|C_j|} \sum_{x_i \in C_j} x_i
\]
여기서 \( C_j \)는 j번째 클러스터에 속한 데이터 포인트 집합입니다.

### 4. 수렴 확인
- 중심점이 더 이상 크게 이동하지 않거나, 할당이 안정화될 때까지 2~3 단계를 반복합니다.
- 일반적으로 SSE(Sum of Squared Errors)가 수렴하면 알고리즘이 종료됩니다.

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## 장점과 단점

### ✅ 장점
- **단순하고 이해하기 쉬움**: 알고리즘이 직관적이며 구현이 간단합니다.
- **계산 효율성**: 데이터 크기가 클 경우에도 비교적 빠르게 동작합니다.
- **광범위한 적용성**: 이미지 압축, 고객 세분화, 문서 클러스터링 등 다양한 분야에 활용 가능.

### ❌ 단점
- **K 값 사전 결정 필요**: 최적의 K 값을 정하기 어려울 수 있습니다.
- **초기 중심점에 민감함**: 초기값에 따라 지역 최적해에 수렴할 수 있습니다.
- **구형 클러스터 가정**: K-means는 구형이고 크기가 비슷한 클러스터를 가정하므로, 비선형 또는 복잡한 형태의 클러스터에는 부적합합니다.
- **이상치에 민감함**: 중심점이 평균을 기반으로 하기 때문에 이상치의 영향을 크게 받을 수 있습니다.

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## K 값 선택 방법

K-means에서 가장 중요한 결정 중 하나는 클러스터 수 **K**를 어떻게 정할 것인지입니다. 대표적인 방법은 다음과 같습니다.

### 엘보우 방법 (Elbow Method)
- 다양한 K 값에 대해 **SSE**(Sum of Squared Errors)를 계산하고, K에 따른 SSE 감소율을 그래프로 그립니다.
- 감소율이 뚝 떨어지는 "팔꿈치" 지점이 최적의 K로 간주됩니다.

### 실루엣 분석 (Silhouette Analysis)
- 각 데이터 포인트가 자신의 클러스터에 얼마나 잘 속해 있는지를 평가합니다.
- 실루엣 계수는 \[-1, 1\] 범위를 가지며, 1에 가까울수록 클러스터링이 잘 되었다는 의미입니다.

### 실루엣 계수 공식
\[
s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max(a(i), b(i))}
\]
- \( a(i) \): 같은 클러스터 내 다른 포인트와의 평균 거리
- \( b(i) \): 가장 가까운 다른 클러스터 내 포인트와의 평균 거리

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## 활용 사례

- **고객 세분화**: 마케팅에서 고객을 유사한 구매 패턴에 따라 그룹화
- **이미지 압축**: 픽셀 값을 K개의 색상으로 군집화하여 저장 용량 감소
- **문서 클러스터링**: 유사한 주제의 문서를 그룹화하여 정보 조직
- **생물정보학**: 유전자 발현 데이터를 기반으로 유사한 발현 패턴을 가진 유전자 군집화

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## 관련 알고리즘 및 확장

- **K-means++**: 초기 중심점을 보다 효과적으로 선택하여 수렴 속도와 품질을 향상
- **K-medoids (예: PAM 알고리즘)**: 중심점을 실제 데이터 포인트로 선택하여 이상치에 강함
- **Fuzzy C-means**: 하나의 데이터가 여러 클러스터에 소속될 수 있도록 허용 (퍼지 클러스터링)
- **Gaussian Mixture Models (GMM)**: 확률 기반 모델로, 더 유연한 클러스터 형태를 허용

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## 참고 자료 및 관련 문서

- Bishop, C. M. (2006). *Pattern Recognition and Machine Learning*. Springer.
- Scikit-learn 공식 문서: [https://scikit-learn.org/stable/modules/clustering.html#k-means](https://scikit-learn.org/stable/modules/clustering.html#k-means)
- Jupyter Notebook 예제: K-means를 활용한 고객 세분화 실습

```python
from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np

# 간단한 K-means 예제
X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0], [4, 2], [4, 4], [4, 0]])
kmeans = KMeans(n_clusters=2, random_state=0).fit(X)
print(kmeans.labels_)  # 각 포인트의 클러스터 레이블
print(kmeans.cluster_centers_)  # 중심점 좌표
```

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K-means는 데이터 과학의 기초이자 핵심 도구 중 하나로, 복잡한 데이터 구조를 탐색하는 데 매우 유용합니다. 다만, 제한 사항을 이해하고 적절한 전처리 및 평가 방법을 함께 사용하는 것이 성공적인 클러스터링을 위한 핵심입니다.

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