# numpy.linalg.svd

## 개요

`numpy.linalg.svd는 NumPy 라이브러리에서 제공하는 **특이값 분해**(Singular Value Decomposition, SVD)를 수행하는 함수입니다. SVD는 행렬을 세 개의 특별한 행렬로 분해하는형대수의 기법으로, 데이터 과학, 기계 학습, 신호 처리, 이미지축 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다.

이 함수는 임의의 실수 또는 복소수 행렬을 입력받아, 그 행렬을 **좌특이벡터**(U), **특이값**(S), **우특이벡터**(V의 전치)로 분해합니다. 이 문서에서는 `numpy.linalg.svd`의 개념, 사용법, 응용 사례, 그리고 주의사항을 자세히 다룹니다.

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## 특이값 분해(SVD)란?

특이값 분해(Singular Value Decomposition)는 임의의 \( m \times n \) 크기의 행렬 \( A \)를 다음과 같은 형태로 분해하는 방법입니다:

\[
A = U \Sigma V^T
\]

여기서:
- \( U \): \( m \times m \) 크기의 **직교행렬**(Orthogonal Matrix), 열은 좌특이벡터를 나타냄.
- \( \Sigma \): \( m \times n \) 크기의 **대각행렬**, 대각 원소는 **특이값**(Singular Values)이며, 내림차순으로 정렬됨.
- \( V^T \): \( n \times n \) 크기의 직교행렬의 전치, 행은 우특이벡터를 나타냄.

SVD는 정방행렬이 아니어도 적용 가능하며, 고유값 분해(Eigenvalue Decomposition)보다 더 일반적인 분해 방법입니다.

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## numpy.linalg.svd 함수 사용법

### 기본 문법

```python
U, s, Vt = numpy.linalg.svd(A, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)
```

### 매개변수 설명

| 매개변수 | 설명 |
|--------|------|
| `A` | 분해할 \( m \times n \) 실수 또는 복소수 배열 |
| `full_matrices` | `True`이면 \( U \)와 \( V^T \)를 정방행렬로 반환, `False`이면 경제형(economy) 분해 수행 |
| `compute_uv` | `True`이면 \( U \)와 \( V^T \)도 계산하여 반환, `False`이면 특이값 `s`만 반환 |
| `hermitian` | 입력 행렬이 에르미트(Hermitian) 행렬이라면 `True`로 설정하여 계산 속도 향상 가능 |

### 반환값

- `U`: 좌특이벡터 행렬 (\( m \times m \) 또는 \( m \times \min(m,n) \))
- `s`: 특이값 배열 (길이가 \( \min(m, n) \))
- `Vt`: 우특이벡터의 전치 (\( n \times n \) 또는 \( \min(m,n) \times n \))

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## 예제 코드

다음은 4×3 행렬에 대해 SVD를 수행하는 예제입니다.

```python
import numpy as np

# 임의의 행렬 생성
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9],
              [10, 11, 12]])

# SVD 분해 수행
U, s, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)

print("U (좌특이벡터):\n", U)
print("s (특이값):", s)
print("Vt (우특이벡터 전치):\n", Vt)

# 재구성 검증
Sigma = np.diag(s)
A_reconstructed = U @ Sigma @ Vt
print("재구성된 A:\n", A_reconstructed)
print("원본과 재구성의 차이:", np.allclose(A, A_reconstructed))
```

출력 결과에서 `A_reconstructed`는 원본 행렬 `A`와 매우 유사하며, 부동소수점 오차 범위 내에서 일치합니다.

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## 응용 분야

### 1. 차원 축소 (예: PCA)
SVD는 주성분 분석(PCA)의 핵심 기술입니다. 데이터 행렬의 공분산 행렬을 직접 계산하지 않고도 SVD를 통해 주성분을 추출할 수 있습니다.

### 2. 이미지 압축
특이값 중 큰 값들만 사용해 행렬을 근사함으로써, 이미지의 크기를 줄이면서도 주요 정보를 유지할 수 있습니다.

### 3. 임의의 행렬의 역행렬 근사 (의사역행렬)
특이값 중 0에 가까운 값을 무시하고 의사역행렬(Pseudo-inverse)을 계산할 수 있습니다. NumPy의 `np.linalg.pinv`는 내부적으로 SVD를 사용합니다.

```python
A_pinv = np.linalg.pinv(A)
```

### 4. 잠재 의미 분석 (LSA)
자연어 처리에서 문서-단어 행렬을 SVD로 분해하여 의미적 구조를 추출하는 데 사용됩니다.

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## 주의사항 및 제한

- **계산 비용**: 큰 행렬의 경우 SVD는 계산량이 많을 수 있으므로, 대규모 데이터에는 `scipy.sparse.linalg.svds`와 같은 근사 알고리즘을 고려해야 합니다.
- **수치 안정성**: 매우 작은 특이값은 노이즈를 반영할 수 있으므로, 차원 축소 시 임계값을 설정해 필터링하는 것이 일반적입니다.
- **결측치 처리**: 원본 데이터에 결측치가 있는 경우, 직접 SVD 적용이 어려우며 행렬 완성(Matrix Completion) 기법을 병행해야 합니다.

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## 관련 문서 및 참고 자료

- [NumPy 공식 문서 - linalg.svd](https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.svd.html)
- Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). *Matrix Computations*. Johns Hopkins University Press.
- [Scipy SVD 함수](https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.svd.html)

SVD는 데이터 과학의 기초 도구 중 하나로, `numpy.linalg.svd`는 이를 쉽게 활용할 수 있게 해주는 강력한 함수입니다.