# 중간 변수

## 개요

미적분학에서 **중간 변수**(intermediate variable)는 복합 함수(composite function)의 구조를 이해하고 미분을 수행할 때 자주 등장하는 개념이다. 중간 변수는 독립 변수와 종속 변수 사이에 위치하여, 함수의 입력값이 최종 출력값에 영향을 미치는 과정에서 일종의 '매개체' 역할을 한다. 특히, **연쇄 법칙**(Chain Rule)을 적용할 때 중간 변수의 개념이 핵심적으로 사용된다.

예를 들어, 함수 $ y = f(u) $이고 $ u = g(x) $일 때, $ u $는 $ x $에 종속되며 동시에 $ y $의 입력값이 되는 변수로, 이 경우 $ u $가 바로 중간 변수이다. 이러한 구조는 현실 세계의 다양한 수학적 모델링에서 흔히 나타나며, 물리학, 공학, 경제학 등 여러 분야에서 활용된다.

이 문서에서는 중간 변수의 정의, 수학적 의미, 미분에서의 역할, 그리고 실제 예시를 통해 그 중요성을 설명한다.

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## 중간 변수의 정의와 구조

### 복합 함수와 중간 변수

중간 변수는 **복합 함수**(합성 함수)의 구조에서 자연스럽게 등장한다. 두 함수 $ f $와 $ g $가 있을 때, $ y = f(g(x)) $와 같이 하나의 함수가 다른 함수의 출력을 입력으로 받는 경우, $ u = g(x) $를 중간 변수라고 한다.

- $ x $: 독립 변수 (independent variable)
- $ u = g(x) $: 중간 변수 (intermediate variable)
- $ y = f(u) $: 종속 변수 (dependent variable)

이와 같은 구조는 다음과 같이 표현할 수 있다:

$$
x \xrightarrow{g} u \xrightarrow{f} y
$$

여기서 $ u $는 $ x $로부터 계산되며, 그 결과가 다시 $ y $를 결정하는 데 사용되므로 '중간'의 위치를 차지한다.

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## 미적분학에서의 역할

### 연쇄 법칙과 중간 변수

중간 변수의 가장 중요한 응용은 **연쇄 법칙**(Chain Rule)이다. 연쇄 법칙은 복합 함수의 미분을 계산하는 데 사용되며, 중간 변수를 통해 변화율을 연결한다.

#### 연쇄 법칙 공식

함수 $ y = f(u) $, $ u = g(x) $일 때, $ y $를 $ x $에 대해 미분하면:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

이 식에서 $ \frac{dy}{du} $는 중간 변수 $ u $에 대한 $ y $의 변화율이고, $ \frac{du}{dx} $는 독립 변수 $ x $에 대한 중간 변수 $ u $의 변화율이다. 두 변화율을 곱함으로써, 전체적인 $ y $의 $ x $에 대한 변화율을 구할 수 있다.

### 예시: 다항식의 미분

예를 들어, $ y = (3x^2 + 2)^5 $를 미분해 보자.

1. 중간 변수 설정: $ u = 3x^2 + 2 $
2. 그러면 $ y = u^5 $
3. 연쇄 법칙 적용:
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (6x) = 5(3x^2 + 2)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 2)^4
   $$

이 계산에서 $ u $는 중간 변수로서, 미분 과정을 단순화하고 논리적으로 정리하는 데 중요한 역할을 한다.

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## 다변수 함수에서의 중간 변수

중간 변수 개념은 다변수 미적분학에서도 확장되어 사용된다. 예를 들어, $ z = f(x, y) $이고 $ x = g(t) $, $ y = h(t) $일 때, $ z $는 결국 $ t $의 함수가 되며, $ x $와 $ y $는 $ t $에 대한 중간 변수로 간주할 수 있다.

이 경우, $ z $를 $ t $에 대해 미분하면 **전미분**(total derivative)이 되며, 다음과 같이 계산된다:

$$
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}
$$

여기서도 $ x $와 $ y $는 중 변수로서, 최종 결과 $ z $에 영향을 주는 경로를 제공한다.

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## 실제 응용 사례

### 물리학: 위치, 속도, 가속도

물리학에서 중간 변수는 운동을 설명할 때 자주 사용된다. 예를 들어, 물체의 위치 $ s(t) $가 시간 $ t $의 함수이고, 속도 $ v = \frac{ds}{dt} $, 가속도 $ a = \frac{dv}{dt} $일 때, $ v $는 $ s $와 $ a $ 사이의 중간 변수 역할을 한다.

또한, 위치가 다른 변수(예: 각도 $ \theta $)의 함수이고, $ \theta $가 시간의 함수일 경우, $ \theta $는 중간 변수가 되며 연쇄 법칙을 통해 $ \frac{ds}{dt} $를 구할 수 있다.

### 경제학: 생산 함수

생산 함수 $ Q = f(L, K) $에서 노동 $ L $과 자본 $ K $가 시간 $ t $의 함수라면, 생산량 $ Q $는 $ t $에 대한 복합 함수가 되고, $ L(t) $, $ K(t) $는 중간 변수로 작용한다. 이때 생산의 시간에 대한 변화율은 전미분을 통해 분석된다.

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## 관련 개념

- **연쇄 법칙**(Chain Rule): 중간 변수를 통한 미분의 핵심 정리
- **전미분**(Total Derivative): 다변수에서 중간 변수를 포함한 변화율 계산
- **음함수 미분**(Implicit Differentiation): 중간 변수 개념이 암묵적으로 사용됨
- **변수 치환**(Substitution): 적분에서 중간 변수를 사용하는 기법

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## 참고 자료 및 관련 문서

- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Thomas, G. B. (2014). *Thomas' Calculus*. Pearson.
- 위키백과: "[연쇄 법칙](https://ko.wikipedia.org/wiki/연쇄_법칙)"
- 위키백과: "[합성 함수](https://ko.wikipedia.org/wiki/합성_함수)"

중간 변수는 단순한 기술적 도구를 넘어, 함수의 관계성과 변화의 흐름을 이해하는 데 필수적인 개념이다. 교육 현장에서는 학생들이 복합 함수의 구조를 시각화하고, 미분 과정을 단계적으로 접근할 수 있도록 돕는 중요한 가교 역할을 한다.