# 고계 도함수

## 개요

고계 도함수(higher-order derivatives)는 함수의 도함수를 다시 미분하여 얻어지는 도함수를 말한다. 가장 기본적인 도함수인 **1계 도함수**(first derivative)는 함수의 순간 변화율을 나타내며, 이 도함수를 다시 미분하면 **2계 도함수**(second derivative), 또 이를 미분하면 **3계 도함수**(third derivative)가 되고, 이와 같은 과정을 반복하여 **n계 도함수**(n-th derivative)까지 정의할 수 있다. 고계 도함수는 수학뿐 아니라 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 하며, 특히 함수의 곡률, 운동의 가속도, 최적화 문제 등에 활용된다.

이 문서에서는 고계 도함수의 정의, 기호 표현, 기하학적 의미, 물리적 의미, 계산 방법, 그리고 주요 응용 사례를 다룬다.

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## 정의와 기호

고계 도함수는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

함수 $ f(x) $가 미분 가능할 때:

- **1계 도함수**: $ f'(x) $ 또는 $ \frac{df}{dx} $
- **2계 도함수**: $ f''(x) $ 또는 $ \frac{d^2f}{dx^2} $
- **3계 도함수**: $ f'''(x) $ 또는 $ \frac{d^3f}{dx^3} $
- **n계 도함수**: $ f^{(n)}(x) $ 또는 $ \frac{d^n f}{dx^n} $

예를 들어, 함수 $ f(x) = x^4 $의 고계 도함수는 다음과 같다:

- $ f'(x) = 4x^3 $
- $ f''(x) = 12x^2 $
- $ f'''(x) = 24x $
- $ f^{(4)}(x) = 24 $
- $ f^{(5)}(x) = 0 $

이처럼, 다항함수의 경우 차수보다 높은 계수의 도함수는 0이 된다.

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## 기하학적 의미

고계 도함수는 함수의 그래프 형태를 분석하는 데 중요한 정보를 제공한다.

### 2계 도함수와 오목성

- $ f''(x) > 0 $: 함수가 **위로 오목**(볼록, convex)하다. 그래프가 'U'자 형태.
- $ f''(x) < 0 $: 함수가 **아래로 오목**(오목, concave)하다. 그래프가 '∩'자 형태.
- $ f''(x) = 0 $이고 부호가 바뀌는 점: **변곡점**(inflection point)으로, 오목성이 변화하는 지점.

예를 들어, $ f(x) = x^3 $의 경우 $ f''(x) = 6x $이므로, $ x = 0 $에서 변곡점이 발생한다.

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## 물리적 의미

고계 도함수는 물리량의 시간에 따른 변화를 설명하는 데 핵심적이다.

### 위치, 속도, 가속도

한 물체의 위치를 시간 $ t $의 함수 $ s(t) $로 나타낼 때:

- 1계 도함수 $ s'(t) $: **속도**(velocity) — 위치의 변화율
- 2계 도함수 $ s''(t) $: **가속도**(acceleration) — 속도의 변화율
- 3계 도함수 $ s'''(t) $: **저크**(jerk) — 가속도의 변화율
- 4계 도함수: **스냅**(snap), 이후 크랙, 포프 등으로 불림

예를 들어, $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $ 라면:

- $ v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 $
- $ a(t) = s''(t) = 6t - 12 $
- $ j(t) = s'''(t) = 6 $

이처럼, 고계 도함수는 운동의 미세한 변화를 분석하는 데 유용하다.

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## 고계 도함수의 계산

고계 도함수를 계산할 때는 일반적으로 미분 법칙을 반복 적용한다.

### 주요 미분 법칙

- **멱함수 법칙**: $ \frac{d^n}{dx^n}(x^k) = \frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n} $ (단, $ n \leq k $, 그 외엔 0)
- **선형성**: $ (af + bg)^{(n)} = af^{(n)} + bg^{(n)} $
- **곱의 법칙 (라이프니츠 법칙)**:
  $$
  (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}
  $$
  이는 두 함수의 곱을 n번 미분할 때 사용되는 공식이다.

예시: $ f(x) = x^2 \sin x $의 2계 도함수를 라이프니츠 법칙으로 구하면:

$$
(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''
$$

여기서 $ f = x^2 $, $ g = \sin x $이므로:

- $ f' = 2x $, $ f'' = 2 $
- $ g' = \cos x $, $ g'' = -\sin x $

따라서:

$$
(x^2 \sin x)'' = 2 \cdot \sin x + 2 \cdot 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot (-\sin x) = (2 - x^2)\sin x + 4x \cos x
$$

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## 응용 분야

### 1. 함수의 극값과 변곡점 판별

- **제2도함수 판별법**: $ f'(c) = 0 $이고 $ f''(c) > 0 $이면 $ c $에서 극소, $ f''(c) < 0 $이면 극대.
- 변곡점 탐지: $ f''(c) = 0 $이고 $ f''(x) $의 부호가 $ c $에서 바뀌는 경우.

### 2. 테일러 급수 전개

함수 $ f(x) $를 점 $ a $ 주변에서 근사할 때 고계 도함수가 사용된다:

$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n
$$

이 급수는 함수의 국소적 행동을 고차항까지 정밀하게 묘사한다.

### 3. 공학 및 제어 이론

로봇 제어, 차량 설계 등에서 **저크**(jerk)를 최소화하면 승차감이 향상된다. 따라서 경로 설계 시 3계 이상의 도함수를 고려한다.

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## 관련 문서 및 참고 자료

- [도함수](도함수.md)
- [테일러 급수](테일러_급수.md)
- [극대와 극소](극대_극소.md)
- [라이프니츠 법칙](라이프니츠_법칙.md)

### 참고 문헌

- Stewart, J. (2015). *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning.
- Apostol, T. M. (1967). *Calculus, Volume 1*. Wiley.

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고계 도함수는 미적분학의 핵심 개념 중 하나로, 함수의 복잡한 변화 양상을 분석하고 현실 세계의 다양한 현상을 모델링하는 데 없어서는 안 될 도구이다.