# 확률의 곱셈 법칙

확률의 곱셈 법칙이란 두 개 이상의 사건이 동시에 또는 연속적으로 일어날 확률을 구하는 방법입니다. 기본적으로 각 사건이 일어날 확률을 곱하여 전체 확률을 계산하며, 두 사건의 상관관계(독립성 여부)에 따라 적용되는 공식이 달라집니다.

## 1. 정의
두 사건 $A$와 $B$가 모두 일어날 확률, 즉 교집합의 확률 $P(A \cap B)$를 구하는 법칙입니다. 이는 사건 $A$가 일어난 상태에서 사건 $B$가 일어날 확률을 곱함으로써 계산됩니다.

## 2. 독립 사건과 곱셈 법칙
두 사건 $A$와 $B$가 서로 **독립**이라는 것은, 사건 $A$의 발생 여부가 사건 $B$가 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않는 상태를 의미합니다. 이 경우 곱셈 법칙은 다음과 같이 단순화됩니다.

**공식:**
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

*   **특징**: 각 사건의 개별 확률을 단순히 곱하여 계산합니다.
*   **예시**:
    *   동전 두 개를 동시에 던져 모두 앞면이 나올 확률
    *   주사위 두 개를 던져 각각 특정 숫자가 나올 확률

## 3. 종속 사건과 조건부 확률
두 사건 $A$와 $B$가 서로 **종속**이라는 것은, 사건 $A$의 발생 여부가 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주는 상태를 의미합니다. 이때는 **조건부 확률**을 사용하여 계산해야 합니다.

**공식:**
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$
(여기서 $P(B|A)$는 사건 $A$가 일어났다는 조건 하에 사건 $B$가 일어날 확률을 의미합니다.)

*   **특징**: 첫 번째 사건의 결과가 두 번째 사건의 표본 공간이나 확률을 변화시킵니다.
*   **예시**:
    *   복원하지 않고(비복원 추출) 주머니에서 공을 연속해서 뽑는 경우
    *   카드 덱에서 한 장을 뽑아 확인한 후, 다시 넣지 않고 다음 카드를 뽑는 경우

## 4. 적용 예시
*   **독립 사건의 예 (주사위)**:
    *   첫 번째 주사위에서 1이 나오고($P(A)=1/6$), 두 번째 주사위에서 1이 나올($P(B)=1/6$) 확률은 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$입니다.
*   **종속 사건의 예 (카드 뽑기)**:
    *   총 10장의 카드 중 당첨 카드가 3장 있을 때, 첫 번째에 당첨될 확률 $P(A)$는 $3/10$입니다.
    *   첫 번째에 당첨된 상태에서 두 번째에도 당첨될 확률 $P(B|A)$는 남은 9장 중 당첨 카드 2장이므로 $2/9$가 됩니다.
    *   따라서 두 번 모두 당첨될 확률은 $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$입니다.