# 수직 점근선

## 개요

수직 점근선(vertical asymptote)은 함수의프가 특정 수직에 무한히까워지면서 그을 지나지 않는 현상을 말. 수직 점선은 함수가 정의되지 않거나 무한대로 발산하는 점에서 발생하며, 주로 유리함수, 로그함수, 삼각함수 등의 함수에서 관찰된다. 수직 점근선은 함수의 극한 성질을 이해하고, 그래프의 형태를 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

수직 점근선은 일반적으로 \( x = a \) 형태로 표현되며, 이는 \( x \)가 \( a \)에 가까워질 때 함수 값 \( f(x) \)가 양의 무한대(\(+\infty\)) 또는 음의 무한대(\(-\infty\))로 발산함을 의미한다.

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## 수직 점근선의 정의

수학적으로, 함수 \( f(x) \)가 \( x = a \)에서 **수직 점근선**을 갖는다는 것은 다음 조건 중 하나 이상이 성립할 때를 말한다:

\[
\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty \quad \text{또는} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty
\]

즉, \( x \)가 \( a \)에 좌측에서 접근할 때 또는 우측에서 접근할 때 함수 값이 무한대로 발산하면, \( x = a \)는 수직 점근선이 된다.

### 예시
함수 \( f(x) = \frac{1}{x} \)의 경우, \( x = 0 \)에서 정의되지 않으며:

- \( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \)
- \( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \)

따라서 \( x = 0 \)은 이 함수의 수직 점근선이다.

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## 수직 점근선의 발생 조건

수직 점근선은 일반적으로 다음과 같은 상황에서 나타난다:

### 1. 유리함수에서의 분모의 0이 되는 점
유리함수 \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \)에서 \( Q(a) = 0 \)이면서 \( P(a) \neq 0 \)이면, \( x = a \)에서 수직 점근선이 생긴다.

#### 예시
\( f(x) = \frac{2}{x - 3} \)

- 분모가 0이 되는 지점: \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
- \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \), \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty \)
- 따라서 \( x = 3 \)은 수직 점근선

> **주의**: 만약 분모와 분자가 동시에 0이 되는 경우 (즉, \( P(a) = 0 \)이고 \( Q(a) = 0 \)), 이는 **극한이 존재할 수 있는 경우**이므로, 단순히 분모가 0인 지점이라도 인수분해 후 약분을 확인해야 한다. 이 경우 **가 removable discontinuity**(제거 가능한 불연속점)일 수 있으며, 반드시 수직 점근선이 생기는 것은 아니다.

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### 2. 로그함수의 정의역 경계
로그함수 \( f(x) = \log_b(x - c) \)는 \( x - c > 0 \)일 때만 정의되므로, \( x = c \)에서 수직 점근선을 가진다.

#### 예시
\( f(x) = \ln(x) \)

- 정의역: \( x > 0 \)
- \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
- 따라서 \( x = 0 \)은 수직 점근선

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### 3. 삼각함수의 특정 점
특정 삼각함수는 주기적으로 수직 점근선을 가진다.

#### 예시
\( f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

- \( \cos(x) = 0 \)이 되는 지점: \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \) (n은 정수)
- 이 지점에서 \( \tan(x) \)는 무한대로 발산
- 따라서 \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \)은 수직 점근선

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## 수직 점근선의 분석 방법

수직 점근선을 찾기 위한 절차는 다음과 같다:

1. **함수의 정의역 확인**: 정의되지 않는 \( x \)값을 찾는다.
2. **분모가 0이 되는 점 확인** (유리함수의 경우).
3. **해당 점에서 좌극한과 우극한 계산**: 무한대로 발산하는지 확인.
4. **약분 가능성 검토**: 분모와 분자가 공통인수를 가지는지 확인하여 제거 가능한 불연속점인지 판단.

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## 그래프에서의 의미

수직 점근선은 함수의 **비연속성**과 **무한 발산**을 시각적으로 나타낸다. 그래프는 이 선에 가까워지지만 절대 교차하지 않으며, 일반적으로 점근선 근처에서 매우 급격한 기울기를 가진다.

예를 들어, \( f(x) = \frac{1}{x^2} \)는 \( x = 0 \)에서 수직 점근선을 가지며, 양쪽 극한이 모두 \( +\infty \)이므로 그래프는 위쪽으로만 무한히 상승한다.

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## 관련 개념

- **수평 점근선**(Horizontal Asymptote): \( x \to \pm\infty \)일 때 함수가 일정한 값에 접근하는 경우.
- **기울기 점근선**(Oblique Asymptote): 유리함수에서 분자가 분모보다 차수가 1 클 때 나타나는 기울어진 점근선.
- **불연속점**(Discontinuity): 수직 점근선은 무한 불연속점의 한 형태이다.

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## 참고 자료 및 관련 문서

- Stewart, James. *Calculus: Early Transcendentals*. Cengage Learning, 2015.
- Thomas, George B. *Thomas' Calculus*. Pearson Education, 2014.
- 관련 위키 문서:
  - [[극한]]
  - [[연속성]]
  - [[유리함수]]
  - [[로그함수]]
  - [[삼각함수]]

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수직 점근선은 함수의 행동을 분석하고 그래프를 정확히 그리는 데 필수적인 개념으로, 미적분학 전반에서 빈번히 사용된다. 특히 함수의 극한과 연속성, 미분 가능성 등을 이해하는 데 중요한 기초가 된다.